gradient

[invite769a1844]

Bonsoir, je bloque sur ce problème:

Soit une fonction différentiable en tout point, excepté peut être à l'origine.

Montrer que est constante sur les sphères de centrées à l'origine si, et seulement si, il existe une fonction différentiable (excepté peut être à l'origine) telle que pour tout .

Déjà pour l'implication directe je ne vois pas comment déterminer .

Merci pour votre aide.
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[God's Breath]

Bonsoir rhomuald,

Soit une fonction différentiable en tout point, excepté peut être à l'origine.

Montrer que est constante sur les sphères de centrées à l'origine si, et seulement si, il existe une fonction différentiable (excepté peut être à l'origine) telle que pour tout .

Je note définie par .
D'abord, est constante sur les sphères à l'origine si, et seulement si, il existe telle que .
Ensuite, il faut montrer que est dérivable, et tu es ramené à calculer .

Pour la réciproque, il faut construire en fonction de .

[invite769a1844]

Bonjour gb,

pour montrer que est dérivable j'ai du mal à l'écrire. Je fixe donc et je voudrais voir ce que donne pour et suffisamment petit, afin de voir vers quoi ça tend quand .
Là je n'arrive pas à me ramener à la dérivabilité de .

[God's Breath]

Bonjour rhomuald,

pour montrer que est dérivable j'ai du mal à l'écrire. Je fixe donc et je voudrais voir ce que donne pour et suffisamment petit, afin de voir vers quoi ça tend quand .

Si est constantes sur les sphères centrées à l'origine, on choisit un vecteur unitaire, on définit par , et on récupère par , donc et le calcul de dérivée se débobine tranquillement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite769a1844]

Si est constantes sur les sphères centrées à l'origine, on choisit un vecteur unitaire, on définit par , et on récupère par , donc et le calcul de dérivée se débobine tranquillement.

ok donc si je ne me suis pas trompé on a .

J'ai montré que ,

ie .

Là je ne vois pas continuer pour trouver ?

[God's Breath]

ok donc si je ne me suis pas trompé on a .

J'ai montré que

Oui. Il te reste à exprimer sous la forme , donc et .

Cette dernière relation te permet, lorsque tu connais , de déterminer une fonction , puis de montrer que est constant sur les sphères entrées à l'origine.

[invite769a1844]

Oui. Il te reste à exprimer sous la forme , donc et .

Cette dernière relation te permet, lorsque tu connais , de déterminer une fonction , puis de montrer que est constant sur les sphères entrées à l'origine.

ok, je crois que maintenant c'est clair, j'ai trouvé .

Merci gb

[invite769a1844]

Il y a un point encore qui ne m'est pas clair pour cette implication, il faut que soit différentiable,
mais là on sait même pas si est différentiable et on a .

[God's Breath]

Il y a un point encore qui ne m'est pas clair pour cette implication, il faut que soit différentiable,
mais là on sait même pas si est différentiable et on a .

La donnée étant différentiable, je ne vois pas ce qui permet d'avoir la différentiabilité de , donc de ...
Il faudrait une hypothèse de classe au départ.

[invite769a1844]

La donnée étant différentiable, je ne vois pas ce qui permet d'avoir la différentiabilité de , donc de ...
Il faudrait une hypothèse de classe au départ.

Ok, oui du coup c'est plus pratique, merci encore.

Je trouve bien que est dérivable sur et en notant , j'ai .

Bon je passe à la construction de pour l'implication indirecte.

[invite769a1844]

Oui. Il te reste à exprimer sous la forme , donc et .

Cette dernière relation te permet, lorsque tu connais , de déterminer une fonction , puis de montrer que est constant sur les sphères entrées à l'origine.

Bon j'essaie de trafiquer cette relation pour déterminer à partir de mais ça m'a l'air tordu:



ie ,

et là je bloque, je pensais primitiver des deux côtés (pour passer de à ) mais je ne sais même pas si ces deux fonctions admettent des primitives.

[God's Breath]

rhomuald, les hypersurfaces de niveau de , sur lesquelles est constante, admettent, en tout point , le gradient pour vecteur normal.

L'égalité te dit que ce vecteur normal est radial, ce qui est équivalent au fait que les hypersurfaces de niveau sont des sphères : la restriction de à une sphère centrée à l'origine est constante si, et seulement si, sa différentielle est nulle.

[invite769a1844]

rhomuald, les hypersurfaces de niveau de , sur lesquelles est constante, admettent, en tout point , le gradient pour vecteur normal.

Je ne vois pas d'où ça vient ce résultat, enfin le fait que ?

[God's Breath]

Je ne vois pas d'où ça vient ce résultat, enfin le fait que ?

On n'a pas !!!
Le gradient est colinéaire à qui est un rayon de la sphère centrée à l'origine et passant par .
Donc est normal à la sphère, qui est donc une hypersurface de niveau de .

[invite769a1844]

On n'a pas !!!
Le gradient est colinéaire à qui est un rayon de la sphère centrée à l'origine et passant par .
Donc est normal à la sphère, qui est donc une hypersurface de niveau de .

ok, je croyais que "normal" et "orthogonal" était synonyme, d'où mon erreur, si j'ai bien compris une normale à une surface en un point de est un vecteur orthogonal au plan tangent à en .

ok donc le fait que le gradient de en est un vecteur normal à la l'hypersurface de niveau qui contient , viendrait du théorème des fonctions implicites.

J'y vois un peu mieux maintenant, merci.

[God's Breath]

ok, je croyais que "normal" et "orthogonal" était synonyme, d'où mon erreur, si j'ai bien compris une normale à une surface en un point de est un vecteur orthogonal au plan tangent à en .

En un point d'une surface la normale et le plan tangent sont effectivement orthogonaux : la normale à une sphère passe donc par le centre.

Du point de vue "calcul" : soit un arc de classe tracé sur la sphère de rayon , centrée à l'origine.
On a donc, pour tout , donc, par dérivation : .
La fonction a pour dérivée , elle est donc constante, c'est-à-dire que prend même valeur en tous les points de l'arc. Comme tu peux toujours relier deux points de la sphère par un tel arc (un grand cercle par exemple), tu en déduis bien que est constante sur la sphère.

[invite769a1844]

ok, très clair ce point de vue "calcul"

Merci beaucoup gb.

[invite769a1844]

voilà une question que j'ai du mal à comprendre:

Pourquoi dit-on que "c'est dans la direction du gradient que l'accroissement d'une fonction est le plus grand"?

Comme on est dans le cadre des fonctions , j'ai pensé qu'il fallait montrer que pour tout ,

Pour essayer de le montrer je suis parti de la définition des dérivées directionnelles et je me suis cassé les dents.

Mais autant je me suis dit que c'était peut être en rapport avec l'exercice précédent.

[God's Breath]

Pourquoi dit-on que "c'est dans la direction du gradient que l'accroissement d'une fonction est le plus grand"?

On dit aussi que le gradient donne la direction de plus grande pente...

C'est tout bêtement l'inégalité de Cauchy-Schwarz.
On est au point , on considère une variation de la variable, et l'on veut étudier l'accroissement résultant .

Du point de vue du calcul différentiel, on sait que , et que, au premier ordre, on a l'accroissement .
Cet accroissement est donné par la différentielle en qui est une application linéaire, et on veut étudier l'impact sur cet accroissement de deux facteurs :
– la direction de ;
– l'éloignement entre et .

On pose donc et , d'où et .
Ainsi l'accroissement au premier ordre est proportionnel à la distance entre et , avec le coefficient de proportionnalité qui dépend de la direction de donnée par .

En représentant la différentielle par le gradient, on a , et l'inégalité de Cauchy-Schwarz assure que avec égalité si, et seulement si, et sont colinéaires : c'est donc dans la direction du gradient que le coefficient est maximum, donc que l'accroissement est le "plus grand", c'est-à-dire varie le plus rapidement en fonction de la distance.

C'est lié à ton problème : lorsque le déplacement est orthogonal au gradient, on a , et l'accroissement est nul au premier ordre.
Donc si l'on se déplace, non plus en ligne droite, mais suivant une courbe qui reste orthogonale au champ de gradient, l'accroissement est perpétuellement nul, et est constante sur cette courbe.

[invite769a1844]

ok, merci pour ces explications gb.