Définition séries de Taylor, séries entières

[jeanmi66]

Bonjour,

je voudrais une précision sur les séries de fonctions. Pour qu'une fonction soit développable en série entière, j'ai une définition qui dit qu'il faut que la fonction f soit indéfiniement dérivable sur l'intervalle de convergence, et que ses dérivées successives soient bornées.

1- série entière, c'est la même chose que la série de Taylor ?
2- comment démontre-t-on que la fonction f est indéfiniement dérivable sur l'intervalle de convergence, et que ses dérivées successives sont bornées ?
3- Ne faut-il pas en plus comme condition nécessaire et suffisante que le rayon de convergence soit infini (et donc que la série converge) ?

Merci

[jeanmi66]

Personne pour m'aider ? Aller, un petit up....

[jeanmi66]

Bein alors ?

[God's Breath]

Bonjour jeanmi66,

je voudrais une précision sur les séries de fonctions. Pour qu'une fonction soit développable en série entière, j'ai une définition qui dit qu'il faut que la fonction f soit indéfiniement dérivable sur l'intervalle de convergence, et que ses dérivées successives soient bornées.

Je pense que la condition est suffisante mais non nécessaire, il faut donc dire "il suffit" et non "il faut" : la fonction exponentielle est développable en série entière de rayon de convergence infinie, et les dérivées successives ne sont pas bornées sur .

1- série entière, c'est la même chose que la série de Taylor ?

Une série entière, c'est une série donnée a priori, de la forme .
Une série de Taylor, c'est une série particulière "fabriquée" à partir d'une fonction de classe au voisinage de l'origine : .
Il se trouve qu'une série entière de rayon de convergence non nul est la série de Taylor de sa somme.

Attention :
– deux séries entière distinctes ont (en cas de convergence...) des sommes distinctes ;
– les séries de Taylor de deux fonctions distinctes peuvent être identiques.

2- comment démontre-t-on que la fonction f est indéfiniement dérivable sur l'intervalle de convergence, et que ses dérivées successives sont bornées ?

Généralement on le montre par récurrence.

3- Ne faut-il pas en plus comme condition nécessaire et suffisante que le rayon de convergence soit infini (et donc que la série converge) ?

Non, est développable en série entière de rayon de convergence 1, et ses dérivées successives ne sont pas bornées sur .