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règle de Bioche

  1. Blackhawks

    Date d'inscription
    juin 2008
    Messages
    54

    règle de Bioche

    Bonjour à tous !
    Etant en prépa, on nous a donné moults exercices pour nos vacances, histoire de ne pas perdre la main.
    Cependant, le niveau est plutôt élevé et certaines choses sont carément atroces.
    J'ai une première question : je dois trouver l'intégrale de 1/(2+sin(x)), j'ai donc tout de suite pensé aux règles de Bioche mais je n'y arrives pas.
    La fonction est invariante par changement de x en Pi-x donc je fais u=sin(x) ie du=cosx dx.
    Mais comment faire pour remplacer dans l'intégrale (le cos(x) me pose soucis) ?
    Deuxième question : formule de Taylor reste intégral : on me demande de montrer que : exp(x)=lim(Sum(x^k/k!),k=0,n).
    Un petit indice (je ne demande pas la résolution complète mais juste quelquechose qui pourrait me débloquer).
    Merci (je posterais sûrement d'autres questions vu le niveau de difficulté de ce travail...).
    @+

    -----

    "Une méthode est un truc qui a été utilisé plusieurs fois."
     


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  2. Thorin

    Date d'inscription
    mars 2006
    Âge
    28
    Messages
    2 613

    Re : règle de Bioche

    Es-tu bien sûr que la fonction est invariante par pi-x ?
    Je te rappelle que dans le cadre des règles de bioche, il faut aussi compter le dx, qui est ici un "-dx"...et ce n'est donc pas invariant.

    Je crains que...tan(x/2) soit nécessaire.
     

  3. Thorin

    Date d'inscription
    mars 2006
    Âge
    28
    Messages
    2 613

    Re : règle de Bioche

    Pour taylor :

    c'est une bête application du cours :
    on écrit que e^x - (somme pour k de 0 à n de ( x^k*e^0/k!))=intégrale de....


    Puis, on passe à la limite quand n tends vers l'infini
    A gauche, c'est directement ce qu'on cherche, à droite, il n'y a pas grande mystère sur le calcul de cette petite intégrale.



    Thorin.
     

  4. Thorin

    Date d'inscription
    mars 2006
    Âge
    28
    Messages
    2 613

    Re : règle de Bioche

    PS : je précise concernant l'intégrale, pour ne pas t'envoyer sur de fausses pistes ; quand je dis qu'il n'y a pas de mystères sur le calcul de cette petite intégrale, c'est parce qu'il y a pas besoin de la calculer explicitement, il suffit de la majorer par quelque chose qui tend vers 0.
     

  5. Blackhawks

    Date d'inscription
    juin 2008
    Messages
    54

    Re : règle de Bioche

    Merci à toi Thorin
    Je n'espérais pas une réponse aussi rapidement mais c'est tant mieux.
    Concernant la règle de Bioche, j'avais effectivement oublié le dx, c'est tout de suite plus facile avec tan(x/2) !!
    Pour la formule de Taylor, je vais essayer ça et je te dis si j'ai réussi (on ne s'est pas beaucoup entrainé là-dessus cette année...).
    @+
    "Une méthode est un truc qui a été utilisé plusieurs fois."
     


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  6. invite43219988

    Date d'inscription
    juin 2004
    Messages
    0

    Re : règle de Bioche

    Bonjour,
    Je voudrais juste répondre à une de tes questions :
    Tu peux tout à fait exprimer cos(x) en fonction de u en utilisant les formules trigos classiques, par exemple : cos²+sin²=1.
     

  7. Blackhawks

    Date d'inscription
    juin 2008
    Messages
    54

    Re : règle de Bioche

    Seconde question : après recherche préalable sur internet, je n'ai rien trouvé concernant cet exercice et le type de résolution nécessaire.
    Les sommes de Riemann : sur une somme je sais le faire, mais là, il s'agit d'une multiplication !
    Produit(1+k²/n²)^(1/n). On me demande de trouver la limite de cette chose.
    Quelle est la méthode à appliquer (celle pour les sommes ne me mène à rien...) ?
    Concernant l'exo précédent, tout est clair maintenant ! Merci à vous
    "Une méthode est un truc qui a été utilisé plusieurs fois."
     

  8. ericcc

    Date d'inscription
    août 2005
    Localisation
    Paris
    Âge
    58
    Messages
    3 500

    Re : règle de Bioche

    EN général pour transformer un produit en somme, on prend le logarithme.
     

  9. Blackhawks

    Date d'inscription
    juin 2008
    Messages
    54

    Re : règle de Bioche

    Merci de l'astuce ericcc, je vais regarder ça !
    @+
    "Une méthode est un truc qui a été utilisé plusieurs fois."
     

  10. Blackhawks

    Date d'inscription
    juin 2008
    Messages
    54

    exo espaces vectoriels

    Voilà, les exos arrivent à a patie très théorique des espaces vectoriels : là aussi ça coince...
    f et g sont deux endomorphismes tq fog=0 et f+g est inversible.
    Je dois montrer que Ker f = Im g :
    Im g inclu dans Ker f, ça j'ai réussi à montrer (fog = 0, donc pour tout x de l'espace euclidien, f(g(x))=0 donc g(x) appartient à Ker f...
    Par contre, la deuxième inclusion est plus complexe : je me suis servis de la deuxième propriété mais je bloque : j'en suis là : comme f+g est inversible, il existe h telle que (f+g)oh=ho(f+g)=id.
    Soit x appartenant à Ker f : on a donc f(x)=0 d'où f(h(x))+g(h(x))=h(g(x))=x.
    Mais après, je ne sais plus par où partir.
    Il faudrait que je montre que f(h(x)) est nul, comme ça on a bien x=g(quelquechose).
    Merci de vos conseils !
    "Une méthode est un truc qui a été utilisé plusieurs fois."
     

  11. IDER

    Date d'inscription
    août 2008
    Âge
    27
    Messages
    6

    Talking Re : règle de Bioche

    Je montre ça pour x = 1, i,e e = lim(Sum(1/k!),k=0,n), et je vous laisse la suite :
    Remarquons d’abord que e = lim (1+1/n) ^ n, lorsque n tend vers + inf.
    Ou encor e = lim(1+k) ^ (1/k), lorsque k tend vers 0.
    En effet, lim ln ((1+k) ^ (1/k)), lorsque k tend vers 0 = 1.
    En utilisant le binôme de Newton pour développer (1+1/n) ^ n
    (1+1/n) ^n = 1+n (1/n) + n (n-1) (1/n) ^2/1.2 + n (n-1) (n-2) (1/n) ^3/1.2.3+…+n(n-1)(n-2)…1(1/n) ^n/1.2.3…n.
    = 1+1+ (1-1/n) (1/2 !)+ (1-1/n) (1-2/n) (1/3 !)+…+ (1-1/n) (1-2/n)… (1-(n-1)/n)(1/n !)
    Laisse tendre n vers + inf :
    Pour tout k : (1-1/n)(1-2/n)…(1-k/n)(1/k !) tend vers 1/k !
    Donc e = lim(1+1/n) ^n = 1+1/2 !+1/3 !+…+1/n ! Lorsque n tend vers + inf .CQFD.
    On remarque que (1+1/n) ^n < 3 car
    (1+1/n) ^n < 2+…+1/n ! < 2+1/2+1/(2^2)+…+1/(2^(n-1)) car 1/n !≤1/(2 ^(n-1)), et Sum(1/2^k),k=0,n)= 1-1/(2^(n-1))<1.
     

  12. Blackhawks

    Date d'inscription
    juin 2008
    Messages
    54

    Re : règle de Bioche

    Je me permet de faire un petit up pour la dernière question que j'ai posée sur ce topic. J'ai beau essayer toutes les méthodes, je n'aboutit jamais à l'inclusion voulue...
    Quelqu'un saurait-il comment faire ?
    "Une méthode est un truc qui a été utilisé plusieurs fois."
     

  13. Thorin

    Date d'inscription
    mars 2006
    Âge
    28
    Messages
    2 613

    Re : règle de Bioche

    Un coup de théorème du rang est souvent salvateur :

    Ici, toutes les inégalités seront larges.


    Il est (presque) évident que Im(f+g) inclus dans (Im f + Im g)
    D'où : Dim(Im(f+g)) < Dim(Im f + Im g) < Dim(Im f) + Dim(Im g) (Grassman)
    De plus, Dim(Im(f+g)) = Dim E, puisque f+g est inversible.

    D'autre part, nous avons que Im g inclu dans Ker f
    D'où Dim(Im g) < Dim(Ker f)
    Et par le théorème du rang : Dim(Im g) < Dim(E)-Dim(Im(f))
    D'où Dim(Im g) + Dim(Im(f)) < Dim(E)

    tout cela mis à bout, on a :
    E < Dim(Im f) + Dim(Im g) < E
    Donc Dim(Im f) + Dim(Im g) = Dim(E)

    Comme Dim(E)=Dim(Im f)+Dim(Ker f), on a :
    Dim(Im f) + Dim(Im g) = Dim(Im f)+Dim(Ker f)

    D'où Dim(Im g)=Dim(Ker f)
    Comme on a déjà une inclusion, cette égalité de dimension prouve l'égalité des espaces.

    Thorin, en espérant que ce soit juste.
     

  14. Blackhawks

    Date d'inscription
    juin 2008
    Messages
    54

    Re : règle de Bioche

    J'ai l'impression que ça tient bien la route ton explication !
    Juste une petite précision : pourquoi dim(Im(f+g))=dim(E) parce que f+g est inversible ?? J'essaye de comprendre mais en vain...
    Un grand merci pour ton aide, tu viens de me sauver la vie (enfin j'exagère peut êre un peu, les exos que j'ai à faire ne sont pas piégé si on n'arrive pas à les faire ).
    @+
    "Une méthode est un truc qui a été utilisé plusieurs fois."
     

  15. Blackhawks

    Date d'inscription
    juin 2008
    Messages
    54

    Re : règle de Bioche

    Ajout : c'est bon, j'ai trouvé, victoire !! Enfin je pense...
    C'est bien parce que : pour tout x de E, (f+g)o(i(x))=x donc Im((f+g))=Im(x)=E ?? i est l'application réciproque de f+g.
    "Une méthode est un truc qui a été utilisé plusieurs fois."
     


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