Topologie du tore

[GuYem]

Bonjour à tous,

Ca faisait longtemps que je n'étais pas venu ici ! Voilà donc une question de topologie. Ca fait longtemps que je n'ai pas fait de truc comme ça et je suis un peu rouillé !

Prenons deux tores de dimension 2. Traçons sur le premier un cercle qui entoure le trou et sur le deuxième un cercle qui n'entoure pas le trou (j'espère être clair).
Existe-t-il un homéomorphisme qui envoie le premier tore sur le deuxième tout en envoyant le cercle qui entoure le trou sur celui qui n'entoure pas le trou ?


Merci d'avance de toute suggestion de réponse.
-----

[Rincevent]

salut,

réponse rapide en passant (je t'assure pas que je vais pas dire de bêtise, je parle sans réfléchir ) : le tore étant "égal" au carré avec les faces opposées identifiées, suffit de repasser dans cette "vision" et de faire une rotation de 90 degrés, non ? en clair à partir des coordonnées "angulaires" que ta visualisation utilise, j'ai l'impression qu'il suffit que tu composes les 3 changements de coordonnées sous-entendus dans ce que je viens de dire pour à ce que tu cherches...

[GuYem]

Salut Rincevent,

Merci de ta réponse. Il suffit en effet de déplier le tore, de faire tourner le carré et de replier le tout pour échanger les cercles. Mais est-ce-que ces opérations font un homéomorphisme ? Je n'en suis pas sûr...

[invité576543]

Bonjour,

Oui, et il y a différentes manières de le voir.

La plus simple est que le tore est U(1)xU(1). L'opération que tu fais "permute" les deux termes du produit. Clairement un homoémorphisme.

Autre manière : c'est facile à voir en 4D (), le tore pouvant s'écrire x²+y²=1 et z²+t²=1, l"homéomorphisme que tu cherches est la rotation (x <-> z, y <-> t).

Du point de vue homotopie, c'est l'application (n, m) -> (m,n) et précisément ce que tu décris est le passage de (1, 0) à (0, 1).

Dans la vision "à plat" d'un réseau carré, suggérée par Rincevent, l'opération est plus simplement vue comme le miroir par rapport à la diagonale du carré, ce qui permet de la visualiser sur le tore même.

Cordialement,

[A voir en vidéo sur Futura]

[invité576543]

le tore est U(1)xU(1)

Ou S¹xS¹, si c'est plus clair...

Cordialement,

[invite986312212]

Prenons deux tores de dimension 2. Traçons sur le premier un cercle qui entoure le trou et sur le deuxième un cercle qui n'entoure pas le trou (j'espère être clair).

si le "cercle qui n'entoure pas le trou" est semblable au bord d'une rustine sur une chambre à air (j'espère moi aussi être clair) alors il n'y a pas d'homéomorphisme car ce cercle découpe le tore en deux composantes connexes. Si tu penses à un cercle coupant le tore selon un plan contenant l'axe de symétrie c'est bon.