Integrer sur des tranches de sphère

[amelie38]

Bonjour,

je cherche à intégrer une fonction définie sur la surface d'une sphère.

Si on passe en coordonnées sphériques, on peut obtenir une paramétrisation qui correspond à des "tranches" qui seraient coupées parallèlement dans un plan horizontal. On obitent des portions de cette forme :


Je voudrais pouvoir l'intégrer sur des "tranches" de la sphère coupées selon un certain angle. Imaginez une mandarine, elle est constituée de plusieurs tranches dont l'épaisseur est donnée par un angle.
Voir image :

Est-ce que quelqu'un connait un système de coordonnées qui fonctionne de cette manière ?
Merci !

[GrisBleu]

Salut

l element differentiel est . Je pense que:
- Si tu commences par integrer sur ca revient a faire en tranche
- Si tu commences par integrer sur ca revient a faire ce que tu souhaites Non ?

++

[Thorin]

la variable par laquelle on commence à intégrer n'a pas d'importance.

Mais le système de coordonnées sphériques convient quand même.

Sauf que pour obtenir ce que tu souhaites,il faut intégrer pour theta entre 0 et pi, et pour phi, entre a et b, tels que (b-a) soit l'angle que doit "avoir" ta tranche. (en notations physiciennes)

[amelie38]

la variable par laquelle on commence à intégrer n'a pas d'importance.

Mais le système de coordonnées sphériques convient quand même.

Sauf que pour obtenir ce que tu souhaites,il faut intégrer pour theta entre 0 et pi, et pour phi, entre a et b, tels que (b-a) soit l'angle que doit "avoir" ta tranche. (en notations physiciennes)

Non justement.
Le problème est que la largeur d'une tranche n'est pas contante sur toute la tranche: La largeur est de b-a au milieu et de 0 aux extrémités, regarde bien l'image, les cotés d'une tranche se touchent en leurs extrémités, ils ne sont pas parallèle, leur surface ressemble à une amande.

Or, si comme tu le proposes, j'intègre phi entre a et b on va avoir une tranche dont la surface ressemble à un quadrilatère dont les côtés haut et bas sont parallèles.

Mon explication n'est pas bien claire, je voudrais mettre des dessins pour illustrer mais je ne peux que mettre des liens vers des images du net.

Merci quand même !

[Thorin]

Je ne comprends pas. Il me semble que même si l'écart entre les lignes change selon que l'on est à l'équateur ou aux pôles, ce qui compte, c'est que l'angle reste constant, lui, non ?

[gillesh38]

Non justement.
Le problème est que la largeur d'une tranche n'est pas contante sur toute la tranche: La largeur est de b-a au milieu et de 0 aux extrémités, regarde bien l'image, les cotés d'une tranche se touchent en leurs extrémités, ils ne sont pas parallèle, leur surface ressemble à une amande.

Or, si comme tu le proposes, j'intègre phi entre a et b on va avoir une tranche dont la surface ressemble à un quadrilatère dont les côtés haut et bas sont parallèles.

Mon explication n'est pas bien claire, je voudrais mettre des dessins pour illustrer mais je ne peux que mettre des liens vers des images du net.

Merci quand même !

ton élément d'intégration doit etre adapté à la fonction que tu integres, si tu découpes ta sphère en "tranches de mandarine", c'est en fait que tu integres une fonction de qui ne dépend pas de (en général on a plutot le contraire, une symétrie de révolution qui ne dépend pas de mais qui dépend de , d'où le premier découpage que tu rappelais).

Si c'est bien ça que tu veux faire (intégrer seulement sur ), alors tu vois que la surface d'une tranche est directement proportionnelle à , c'est donc , ce qui redonne bien par intégration la surface de la sphère.

Cdt

Gilles

[amelie38]

Ma fonction dépend des deux paramètres.

En fait pour être plus précis, ma fonction est définie sur un cercle. Lorsqu'on a un point sur une demie-sphère, on regarde son projeté orthogonal sur le cercle qui lui sert de base pour trouver sa valeur.

Mon problème est : on a deux demie-sphères de même centre (comprendre que le centre des sphères correspondantes est le même).

Imaginez que les demie-sphères se superposent parfaitement (à ce moment là on a deux fois la même).

Puis vous faites bouger l'une des demie-sphères autour de son centre par rapport à n'importe quelle direction de l'espace.
Il va rester une surface commune aux deux demies-sphères, mais il y aura aussi une partie de la demie-sphère A non recouverte par la demie-sphère B et réciproquement. Ces parties ressemblent à des tranches de mandarines.

Pour calculer l'erreur induite par le mouvement, je souhaite intégrer les fonctions associées aux demies-sphères sur ces parties.

Pour le moment je me suis dit que le projeté d'un cercle sur un autre de même centre dans l'espace est une ellipse. En utilisant l'équation de l'ellipse je pense réussir à intégrer mes fameuses "tranches de mandarine", puisque en fin de compte c'est leurs projetés orthogonaux sur le cercle qui m'intéresse, et ces projetés orthogonaux décrivent justement des ellipses (enfin j'espère, je dis ça parce que ça y ressemble ) d'équation dans un bon repère avec l'angle de la rotation de la demie-sphère.

Merci pour ceux qui m'ont répondu !