exercice: Couple de variables aléatoires

[invite6d9d9854]

bonjour
j'arrive bientôt à la deuxième session de partiels et je n'arrive désespérément pas a résoudre cet exercice.

Dans une faculté, 50% des étudiants sont inscrits en première année, 35% en
deuxième année et 15% en licence. on interroge 2 étudiants au hasard, on note X le nombre d'étudiants de première année interrogés et Y le nombre d'étudiants de deuxième année interrogés

trouver la loi du couple (X,Y), puis celle de X et celle de Y
------
si vous avez des conseils de méthode pour aborder ce genre d'exercice n'hésitez pas à les exprimer
si vous avez la solution et quelques explications vous me rendrez un grand service (ainsi qu'aux autres car je pense que cet exercice est un exercice type)
merci d'avance
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[taladris]

bonjour
j'arrive bientôt à la deuxième session de partiels et je n'arrive désespérément pas a résoudre cet exercice.

Dans une faculté, 50% des étudiants sont inscrits en première année, 35% en
deuxième année et 15% en licence. on interroge 2 étudiants au hasard, on note X le nombre d'étudiants de première année interrogés et Y le nombre d'étudiants de deuxième année interrogés

trouver la loi du couple (X,Y), puis celle de X et celle de Y
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si vous avez des conseils de méthode pour aborder ce genre d'exercice n'hésitez pas à les exprimer
si vous avez la solution et quelques explications vous me rendrez un grand service (ainsi qu'aux autres car je pense que cet exercice est un exercice type)
merci d'avance

Tes variables sont des variables discrètes donc trouver la loi de (X,Y) revient à calculer P(X=k,Y=l) pour tous k,l . Tdem pour la loi de X et la loi de Y

[invite6d9d9854]

je suis d'accord
mais je n'arrive pas pas à formaliser le problème
de quel univers faut-il démarrer?

[Romain-des-Bois]

Bonsoir,

X vaut 0, 1 ou 2
Y vaut 0, 1 ou 2
puisqu'on interroge deux étudiants.

Ainsi, (X,Y) peut valoir (0,0), (0,1), (0,2), (1,0), (1,1), (2,0) (soit 6 possibilités).

On peut supposer un tirage sans remise. Je prends un premier étudiant au hasard, je l'interroge. Je le garde sous la main, et j'en interroge un autre (ce ne sera donc pas le même).
On peut aussi supposer un tirage avec remise. (c'est ce que je fais en disant n grand)

Quelle est la probabilité que (X,Y) = (0,0) ?
C'est la probabilité que le premier et le deuxième étudiants soient en L3.
Ici, il manque le nombre total d'étudiants pour être parfaitement exact, mais s'il est grand, c'est à peu près

Quelle est la probabilité que (X,Y) = (0,1) ?
C'est la probabilité que 1 étudiant soit en L2 et 1 étudiant soit en L3
Il y a deux possibilités :
soit le premier est en L2 et le second en L3 (35/100)(15/100)
soit le premier est en L3 et le second en L2 (15/100)(35/100)
ce qui fait :
(avec la même approximation)

Et ainsi de suite...

Romain

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6d9d9854]

merci beaucoup Romain

donc si j'ai bien compris
si (X,Y)=(1,1) P=(50/100)(35/100)*2
si (X,Y)=(1,0) P=(50/100)(15/100)*2
si (X,Y)=(0,2) P=(35/100)(35/100)
si (X,Y)=(2,0) P=(50/100)(50/100)

comment aurais-je du procéder si un nombre n d'étudiant avait été précisé dans l'énoncé?

merci d'avance

[invite9cf21bce]

Bonjour.

Si on connaît le nombre d'étudiants, on peut utiliser l'information pour matérialiser dans les formules le fait que le tirage est sans remise.

Supposons N étudiants. Il y a N(N-1) couples possibles.

Pour (2,0) : étudiants sont en L1. Le premier étudiant interrogé est en L1, le deuxième en L1, probabilité :

On a retranché 1 pour le deuxième étudiant, car il est à prendre parmi les 50N/100 étudiants en L1, moins celui qui a déjà été interrogé.

Quand N est grand, le 1 est négligeable (au numérateur et au dénominateur) et on trouve :

Et on retrouve la formule "avec remise" :

Bien entendu, tout ce qui précède n'est pertinent que si le tirage est sans remise. L'énoncé donne deux messages contradictoires à ce sujet :

• on interroge deux étudiants au hasard, ce qui sous-entend qu'ils sont différents, ce qu'on peut modéliser par un tirage sans remise
• il ne donne pas le nombre total d'étudiants, ce qui ne permet pas de donner de réponse pour un tirage sans remise

Dans ce genre de situation, on approxime par un tirage avec remise en précisant "on suppose le nombre d'étudiants grand et on modélise par un tirage avec remise", comme l'a fait Romain.

L'idée est que lorsqu'il y a beaucoup d'étudiants, dans un tirage sans remise, retirer le premier étudiant interrogé de la liste a peu d'effet sur les proportions respectives des populations (dans le calcul ci-dessus, est proche de 50/100).

Cordialement
Taar

[invite6d9d9854]

merci beaucoup Taar
je vais étudier ça


sinon mes résultat écrits dans mon dernier post sont-ils bons?

à bientôt

[Romain-des-Bois]

Taar a très bien expliqué la modélisation

sinon mes résultat écrits dans mon dernier post sont-ils bons?

Ils ont l'air bons.
Si tu veux vérifier, tu ajoutes toutes les probas, et tu dois trouver 1.

Quand j'ai fait les calculs, j'ai trouvé deux résultats - qui sous forme de fraction irréductible - ont un 400 au dénominateur.


Romain

[FAN FAN]

bonjour
j'arrive bientôt à la deuxième session de partiels et je n'arrive désespérément pas a résoudre cet exercice.

Dans une faculté, 50% des étudiants sont inscrits en première année, 35% en
deuxième année et 15% en licence. on interroge 2 étudiants au hasard, on note X le nombre d'étudiants de première année interrogés et Y le nombre d'étudiants de deuxième année interrogés

trouver la loi du couple (X,Y), puis celle de X et celle de Y
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si vous avez des conseils de méthode pour aborder ce genre d'exercice n'hésitez pas à les exprimer
si vous avez la solution et quelques explications vous me rendrez un grand service (ainsi qu'aux autres car je pense que cet exercice est un exercice type)
merci d'avance

Dans ce pb, on rend les choses très clair en mettant les probabilités des 6 valeurs du couple sous forme d'une matrice, représentant en fait les masses affectées aux pts discrets du plan formés par les valeurs du couple (X,Y).
Les probabilités marginales apparaissent alors naturellement en bouts de matrice par sommation des lignes d'une part et des colonnes d'autre part et on peut vérifier que la somme des deux probabilités marginales est bien 1. Si ce n'est pas le cas, il y a une erreur...
Je conseille vivement cette méthode. Cette matrice est appelée "matrice des contingences".

[invite6d9d9854]

un post juste pour vous dire un grand merci à tous pour toutes ces explications