intersection de boules ouverte et fermee

[invite4a11ae1c]

bonjour
j'aurais besoin d'aid pour resoudre un exercice de topologie
"A boule fermee non vide, B boule ouverte; montrer que AinterB est un ouvert dans A mais pas forcement dans B"
si quelqu'un voit comment demarrer ce serait cool
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[taladris]

Salut!

"A boule fermee non vide, B boule ouverte; montrer que AinterB est un ouvert dans A

Si tu connais une caractérisation des ouverts pour la topologie induite (genre U est ouvert dans A ssi U est de la forme ...), c'est trivial. Connais-tu une telle caractérisation?

mais pas forcement dans B"

Là, faut trouver un contre-exemple. Je pense que prendre des intervalles de R pour A et B devrait suffire.

[invite4a11ae1c]

j'ai "U est ouvert dans A ssi c'est un voisinage de chacun de ses points dans A"
Le pb que j'ai c'est que j'arrive pas a exprimer A inter B

[taladris]

Tu peux montrer le résultat général suivant: Soit E un espace topologique et A une partie non vide de E. U est un ouvert de A si et seulement si U=AinterO avec O un ouvert de E.
Avec ça, ce que tu cherches à montrer tombe tout de suite.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4a11ae1c]

merci, je vais essayer comme ça ce sera sns doute mieux;
sinon j'ai fait un truc mai jsuis pas sure que ce soit vraiment une preuve :
soit x dans A inter B
la plus petite distance aux bords des boules : min(min d(x,A),mind(x,))
on prend r<= à cette distance et on a Bo(x,r) inclu dans AinterB avec A ouvert de A et Bo ouvert de A donc A inter Bo est un ouvert de A et comme Bo(x,r) est inclu dans B, Ainter B est un ouvert de A...
c'est pas hyper rigoureux