polynome - module

[inviteeae3f73b]

Bonjour à tous,
j'entame ma première année en bcpst et je dois avouer que les maths n'ont jamais été mon point fort...

P=(a+3)X³-aX²-(a+2)X+a
on me demande de déterminer le réel a pour que le polynôme P admette une racine complexe non réelle de module 1.

J'ai tenté de déterminer une factorisation de P telle que P=(X-b)Q,
b étant la racine complexe évoquée et Q un polynome de second degré mais je bloque...

Pourriez vous m'aider? merci d'avance
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[God's Breath]

Le polynôme est à coefficient réel : s'il admet une racine non réelle de module 1, , il admet une autre racine non réelle de module 1, .
Les relations entre coefficients et racines doivent te permettre de conclure.

[inviteeae3f73b]

donc si je comprend bien P=(X-z)(X-[conjugué de z])Q
et en posant un système d'égalités je dois pouvoir retrouver a ?





(désolée pour la notation [conjugué de z], je ne sais pas comment inserer les notations correspondantes...)

[God's Breath]

donc si je comprend bien P=(X-z)(X-[conjugué de z])Q
et en posant un système d'égalités je dois pouvoir retrouver a ?

Oui, parce que le degré de Q est connu...

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteeae3f73b]

j'aimerai juste avoir confirmation de la justesse de mon système d'équations avant de tenter de le résoudre:

/!\ je noterai w le conjugué de z

P= (X-z)(X-w)Q avec Q=bX+a (puisque le terme constant du polynome P est a)
=> P= bX³+(a-wb-zb)X²+(za-wa)X+a

d'où le système

b=a+3
a-wb-zb=-a
za-wa=-a-2

[inviteeae3f73b]

je rectifie: P= bx^3+x²(a-bz-bw)+X(az+aw+b)+a

d'où
b=a+3
a-bw-bz=-a
za+wa+b=-a-2 ...

et je me retrouve avec

a= -5 / (z+w)

[God's Breath]

Il faut tenir compte du fait que z et w sont des complexes conjugués, et de module 1.

[inviteeae3f73b]

c'est à dire?

[God's Breath]

que z+w ne peut pas prendre n'importe quelle valeur...

[inviteeae3f73b]

z+w = 2cos(teta) si on applique la formule d'euler et on determine les valeurs de teta pour que z+w soit différent de 0?

[God's Breath]

z+w = 2cos(teta) si on applique la formule d'euler et on determine les valeurs de teta pour que z+w soit différent de 0?

Oui, et puis un cosinus, c'est compris entre -1 et 1, donc toute valeur de a n'est pas possible...

[inviteeae3f73b]

toute valeur de a n'est pas possible...

certes, puisque je cherche à determiner sa valeur

non plus sérieusement,
je ne comprend pas en quoi l'encadrement du cosinus joue là dedans puisqu'à partir du moment où cos(téta) est différent de 0, on a un réèl...

[God's Breath]

Lorsque tu te retrouves avec , peux-tu avoir ?

[inviteeae3f73b]

non en effet... a sera, si je calcule bien, compris entre ]-infini;-2.5]U[2.5;+infini[ mais est il vraiment nécessaire de le préciser?
l'égalité a=-5/(2cos(téta)) montre bien toutes les valeurs que a peut prendre

[God's Breath]

je rectifie: P= bx^3+x²(a-bz-bw)+X(az+aw+b)+a

d'où
b=a+3
a-bw-bz=-a
za+wa+b=-a-2 ...

et je me retrouve avec

a= -5 / (z+w)

Je reviens sur ce passage.
La valeur de a me semble bizarre : ta dernière équation est , donc avec , et , et il y a une petite différence de signe avec la première équation.

Je pense que tu devrais reprendre tes calculs qui contiennent visiblement des erreurs.

[inviteeae3f73b]

je suis tout bonnement perdue... voila mes nouveaux calculs

b=a+3
a-bw-bz=-a
za+wa+b=-a-2

<=>
b=a+3
(z+w)a+(a+3)=-a-2

<=>
b=a+3
(z+w)a+2a=-5

<=>
b=a+3
a=-5/(z+w+2)

si ce résultat est juste, cela me donnerai
a=-5/ (2cos(téta)+2) = -5/ 2(cos(téta)+1)

[inviteeae3f73b]

si quelqu'un pouvait m'aider une bonne fois pour toute car je ne parviens pas à conclure...
merci d'avance

[God's Breath]

je suis tout bonnement perdue... voila mes nouveaux calculs

b=a+3
a-bw-bz=-a
za+wa+b=-a-2

<=>
b=a+3
(z+w)a+(a+3)=-a-2

Attention, un système de trois équations ne peut pas être équivalent à un système de deux équations.

En fait

b=a+3
a-bw-bz=-a
za+wa+b=-a-2

<=>
b=a+3
a-(a+3)(w+z)=-a
(z+w)a+(a+3)=-a-2

<=>
b=a+3
(a+3)(w+z)=2a
(z+w)a=-2a-5

<=>
b=a+3
-2a-5+3(w+z)=2a
(z+w)a=-2a-5

<=>
b=a+3
3(w+z)=5+4a
(z+w)a=-2a-5

<=>
b=a+3
(w+z)=(5+4a)/3
a(5+4a)/3=-2a-5

J'espère ne pas avoir fait d'erreurs de calcul...
La dernière équation de donne une équation pour calculer les valeurs éventuelles de a.

[inviteeae3f73b]

je m'était encore trompée plus haut lorsque j'ai développé P à partir de Q... en fait, P= bx^3+x²(a-bz-bw)+X(-az-aw+b)+a
ça donne donc

b=a+3
a-bw-bz=-a
-za-wa+b=-a-2

<=>
b=a+3
a-(a+3)(w+z)=-a
-(z+w)a+(a+3)=-a-2

<=>
b=a+3
(a+3)(w+z)=2a
-(z+w)a=-2a-5

<=>
b=a+3
2a+5+3(w+z)=2a
(z+w)a=2a+5

<=>
b=a+3
3(w+z)=-5
(z+w)a=2a+5

<=>
b=a+3
(w+z)=-5/3
a5/3=2a+5

ce qui est au final beaucoup plus simple à résoudre... si je ne me suis pas encore trompée ><

[God's Breath]

b=a+3
(w+z)=-5/3
a5/3=2a+5

ce qui est au final beaucoup plus simple à résoudre... si je ne me suis pas encore trompée ><

Je te conseille de laisser tomber 5 minutes, puis de reprendre tes calculs plus sereinement.

Si cette dernière mouture est exacte; tu as donc
b=a+3
2cos(theta) = -5/3 (ce qui permet de calculer z et w en cas de besoin, mais cela ne conduit pas à une valeur sympathique de theta)
5a = 2(3a+5), et le calcul de a.

[inviteeae3f73b]

en faisant attention a ma derniere erreur de signe (celle évidente dans la citation) je trouve a=-15/11
ce qui est beaucoup plus plausible que l'intervalle que j'avais trouvé precedemment!
je ne m'occupe pas de téta étant donné qu'on me demandait seulement de trouver a.

en espérant que tu ne trouveras pas une énième faute, je te remercie énormément! =)

[God's Breath]

en espérant que tu ne trouveras pas une énième faute

Ca m'a l'air juste...