"Réalité" des nombres surréels

[invite6b1a864b]

Pour citer une source fiable

Je pense qu'il vous manque une case technique..
J'ai déjà argumenter, c'était une histoire de pomme..
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[invite6b1a864b]

Argumenter quoi ? Tu demandes un exemples, je t'en donne des milliers, que veux-tu de plus ? Mais peut-être ne connais-tu pas la théorie des types ou les travaux de Shelah, ce qui serait embêtant pour quelqu'un qui affirme :

Non, ça n'est pas embétant. Autre exemple : je peux vous expliquer ce qu'est le BTP sans savoir comment poser une brique..

Je peux vous expliquer ce que la biologie (l"étude du vivant) sans savoir comment vivent les marsouins d'amazonie.. donc non, ça n'est pas embétant.

[invite6b1a864b]

Bon.. j'ai finit par essayé de trouver un texte qui parlerais de la théorie des classifications de Shela..

Alors, ça semble intéressant, mais je ne vois vraiement pas à quelle endroit il y aurait une proposition (faut il que je vous explique ce que c'est) qui ne dépendrait pas des axiomes..

Dans le pire des cas, ça identifie des structures et des classifications entre ces structures mathématiques.. Ma question est la suivante : les résultat de la théorie ne dépendent pas des axiomes que sont les classifications..
Puisque les mots ont leur importance et que vous maitrisez la théorie de Shelah, vous vous ferez un grand plaisir de me répondre !

[Urgon]

Bonjour,
Désolé d'avoir mal compris, mais je comprends encore moins, non seulement l'argument de Gwyddon sur la subjectivité devient primordial (par exemple, pour moi, le minimum d'élégance pour une théorie est d'être axiomatisable, si possible finiment, sinon récursivement dénombrable, mais je comprends que ce n'est pas forcément le cas de toute le monde), mais surtout, je ne vois plus l'intérêt de ce qualificatif, si "réalité d'une théorie" = "élégance de la théorie", pourquoi introduire un vocabulaire aux connotations très lourdes (envahissantes, même), et pourquoi ne pas se contenter de dire que telle théorie est élégante ou non (en ayant conscience de la subjectivité d'une telle classification).

Il n'y a pas "réalité d'une théorie" <=> "élégance de la théorie", mais "réalité d'une théorie" => "élégance de la théorie". Comme disait Dassault, "un bon avion est forcément un bel avion", mais un bel avion n'est pas forcément un bon avion. Idem pour les théories mathématiques (ou physiques d'ailleurs..).

Sur la part subjective : l'élégance n'est qu'un des aspects, et qui n'est pas primordial, en tout cas qui n'est pas suffisant. La fertilité, la productivité, la cohérence sont moins subjectifs (mais toujours un peu, il est vrai) mais tout aussi importants voire d'avantage. Et c'est surtout sur ces aspects que j'insistais plus haut (ainsi que Penrose pour les complexes..).

En fait, pour revenir au sujet initial, les surréels passent à mon sens le test d'élégance (je le disais d'ailleurs dans mon tout premier post). Mais comme un bel avion n'est pas forcément un bon avion, j'étais en quête d'autres critères permettant de trancher, et par exemple des critères montrant que les "surréels" sont "nécessaires", que les réels ne sont pas suffisants, en mathématiques et/ou en physique.

[Urgon]

Un petit post scriptum au post précédent :

Je viens de lire l'excellent post stické de Mediat sur 0^0.

Je me dis que c'est là un critère (de cohérence et de productivité) tout trouvé pour les surréels : les surréels permettent-il de donner une réponse non ambigüe à 0^0 ? L'indétermination de 0^0 est peut-être une preuve de "faiblesse" des réels et que quelque-chose de plus puissant (plus réel ? plus vrai ?) est nécessaire.

En tout cas, il me semble que les surréels devraient unifier la définition de m^n avec m et n non infinis avec m^n aven n transfini, qui donne lieu à deux cas différents (2 et 3) dans le post de Mediat.

Quelqu'un sait si l'analyse de 0^0 a été fait avec les surréels ?

[Médiat]

Pour fixer les idées, tu proposes de dire qu'une théorie mathématique a "une certaine réalité" en fonction des critères suivants :

• Elégance : purement subjectif
• Fertilité : je peux comprendre qu'une théorie qui ne permettrait pas de démontrer des théorèmes ne serait pas très utiles (on parle bien de fertilité intrinsèque et non de l'usage que d'autres scientifiques peuvent en faire, n'est-ce pas ?), mais cela étant dit la quasi totalité des théories permettent d'en démontrer "beaucoup", quitte à la "complèter".
• Productivité : je ne comprends pas ce que tu veux dire ici.
• Cohérence : une théorie mathématique incohérente n'aurait aucun intérêt, la cohérence est bien le minimum demandé.

[Urgon]

Pour fixer les idées, tu proposes de dire qu'une théorie mathématique a "une certaine réalité" en fonction des critères suivants :

• Elégance : purement subjectif
• Fertilité : je peux comprendre qu'une théorie qui ne permettrait pas de démontrer des théorèmes ne serait pas très utiles (on parle bien de fertilité intrinsèque et non de l'usage que d'autres scientifiques peuvent en faire, n'est-ce pas ?), mais cela étant dit la quasi totalité des théories permettent d'en démontrer "beaucoup", quitte à la "complèter".
• Productivité : je ne comprends pas ce que tu veux dire ici.
• Cohérence : une théorie mathématique incohérente n'aurait aucun intérêt, la cohérence est bien le minimum demandé.

Tu as raison : les termes demandent à être définis, ou du moins précisés, car il y a effectivement des incompréhensions et quiproquos.

Par "productivité" et "fertilité" (synonymes en fait) j'entends le nombre et l'étendue des théories dérivées qui se fondent sur la théorie en question, et leur applicabilité en physique. Il y a beaucoup plus de théories et d'études fondées sur les complexes (toute l'analyse complexe par exemple) que sur les octonions, (et même les quaternions Gwyddon) c'est objectif.

Par "cohérence" j'entends non une cohérence au sens formel, bien entendu, mais le fait qu'il y aie beaucoup moins de résultats "bizarres" ou "indéterminés" avec une théorie qu'avec une autre. A ce titre, l'exemple de 0^0 est parfait (as-tu vu mon post deux crans + haut Mediat, on s'est croisé).

La théorie des réels est parfaitement cohérente au sens formel, mais un corps qui donnerait un résultat non ambigu pour 0^0 serait "plus cohérent" dans le sens utilisé ici.

De même, l'exemple des prolongements analytiques avec les complexes, impossibles avec des réel est un autre exemple de "cohérence" (un autre terme serait sans doute plus approprié, mais tu vois maintenant je pense ce que je veux dire).

[invite6b1a864b]

J'ai du mal à suivre One Eye Jack.

D'un côté il dit :



En disant cela, il semble dire que le rapport intuitif avec la réalité (les pommes) donne un critère de réalité pour les entiers.

D'un autre côté il dit :



Qui semble dire (et c'est une opinion qui se tient très bien, c'est d'ailleurs ce que dit peu ou prou JPD) que à partir du moment où la construction est mathématiquement cohérente alors elle "existe", indépendamment de la "réalité". C'est juste le contraire de la première intervention de OEJ.

Bon : je pense que le critère de comparaison des surréels avec la "réalité" n'est pas applicable : les surréels sont loin de notre intuition et loin de tout exemple "réel".

D'un autre côté, si on défend l'opinion contraire "les mathématiques n'utilise que des régles de vérification interne", alors c'est l'argument de JPD, j'ai déjà expliqué en quoi il me semblait insuffisant, et nous n'avançons pas.

Pour moi, ni l'un ni l'autre "critère" ne sont satisfaisants.

Pour faire sentir ce que pourraient être des critères de réalité, voici comment Penrose défend que le corps des complexes est "supérieur", "plus réel" que le corps des réels, et que les complexes devraient être à la base de toute théorie physique.

Il montre (dans son dernier livre "A la découverte des lois de l'univers") que les complexes mènent par exemple à un des prolongements analytiques élégants de fonctions qui sont discontinues dans R, par exemple 1/X (en utilisant une géométrie projective sur une sphère de Riemann, ce qui fait que l'infini fait partie du domaine de définition), ou de la fonction logarithme avec les surfaces de Riemann.

Il montre également l'élégance, la cohérence et la productivité de l'analyse complexe en général, des hyperfonctions etc..

L'élégance, la productivité, la cohérence sont pour lui de très bons indices d'une certaine "réalité", ou "supériorité" de certains corps sur d'autres.

Par exemple, le corps des quaternions, et plus encore des octonions sont assez stériles et peu élégants, et dissuadent de "les prendre au sérieux" pour fonder par exemple des théories physiques dessus, ou pour simplement remplacer les complexe comme généralisation pertinente.

Donc, ce même genre de question se pose pour les surréels par rapport aux réels. J'attendais éventuellement de cette discussion des exemples "à la Penrose" d'élégance, de cohérence ou de productivité des surréels (ou au contraire des exemples montrants qu'ils sont moins élégants et plus lourds que les réels, à la manière des quaternions par rapport aux complexes).

Mais je ne perd pas espoir...

Mon avis sur la question est que les surrééls introduisent une relativité d'échelle.
On peut enfin contabiliser les points à l'aide d'une échelle..

Entre 1 et 3, il y a deux fois plus de surréél qu'entre 1 et 2 si on se limite par exemple au surréél non infinitésimal (tout ceux construit avant le jour "w"
Tout les infinies trouve par magie des ordres de grandeurs relatif entre eux, gràce à l'utilisation de Cantor.

[invite6b1a864b]

J'aimerais donc bien montrer à tout le monde que, en janvier, j'avais publié ces idées qui sont à peu de chose près la même construction que les surrééls, et non, je n'avais certainement pas lu J. Conway..

http://forums.futura-sciences.com/ma...erieur/197451-
mathematique-de-linfini.html

[Médiat]

D'ailleurs le 25 janvier, j'avais publié ça :


http://forums.futura-sciences.com/ma...e-linfini.html

J'avais vu passer ce fil, et j'approuve l'intervention de Ledescat, et un peu celle de Ksilver, à un détail près, ce que tu proposes ressemble (de loin) non aux ordinaux, mais aux superréels (dus à Tall)

Médiat

PS : tu as atteint la limite des messages et n'ai pas pu répondre à ton MP

[Médiat]

vous vous ferez un grand plaisir de me répondre !

Ayant lu vos diverses interventions de ce jour, la réponse est simple : NON !

[Médiat]

Par "productivité" et "fertilité" (synonymes en fait) j'entends le nombre et l'étendue des théories dérivées qui se fondent sur la théorie en question, et leur applicabilité en physique. Il y a beaucoup plus de théories et d'études fondées sur les complexes (toute l'analyse complexe par exemple) que sur les octonions, (et même les quaternions Gwyddon) c'est objectif.

Là on quitte le domaine de l'intrinsèque.

Par "cohérence" j'entends non une cohérence au sens formel, bien entendu, mais le fait qu'il y aie beaucoup moins de résultats "bizarres" ou "indéterminés" avec une théorie qu'avec une autre.

J'ai du mal à appeler cela cohérence, car c'est encore très subjectif (certains sur ce forum trouvent bizarre que 0.9 = 1)

A ce titre, l'exemple de 0^0 est parfait (as-tu vu mon post deux crans + haut Mediat, on s'est croisé).

Oui, je travaille dessus.

La théorie des réels est parfaitement cohérente au sens formel, mais un corps qui donnerait un résultat non ambigu pour 0^0 serait "plus cohérent" dans le sens utilisé ici.

Je comprends mieux ton point de vue, mais j'ai encore du mal à le cerner complètement car l'exponentielle est une définition plus ou moins naturelle (ou même plusieurs), qui ne dit rien de 0⁰, c'est peut-être la définition qu'il faut revoir et non l'ensemble de base, non ? Mais comme je l'ai dit ci-dessus, je cherche un peu sur la question pour les surréels, si il y existe une définition naturelle qui ne laisse aucune ambiguité sur 0⁰, alors ta position sera claire à mes yeux .

De même, l'exemple des prolongements analytiques avec les complexes, impossibles avec des réel est un autre exemple de "cohérence" (un autre terme serait sans doute plus approprié, mais tu vois maintenant je pense ce que je veux dire).

C'est pas mon domaine, mais c'est plus clair.

[invite6b1a864b]

Ayant lu vos diverses interventions de ce jour, la réponse est simple : NON !

bon j'en déduit donc que vous ne pouvez pas !

[Urgon]

Oui, je travaille dessus.

Je comprends mieux ton point de vue, mais j'ai encore du mal à le cerner complètement car l'exponentielle est une définition plus ou moins naturelle (ou même plusieurs), qui ne dit rien de 0⁰, c'est peut-être la définition qu'il faut revoir et non l'ensemble de base, non ?

Ravi d'apprendre que tu tentes d'explorer 0^0 avec les surréels. J'ai recherché des infos à ce sujet sur le Net, sans succès. Il y a (rêvons un peu) peut-être un peu de recherche et découverte à faire.

Intuitivement (c'est très peu rigoureux et très heuristique) on a l'impression que on peut mieux "suivre" ce qui se passe à l'approche de 0^0 avec les surréels qu'avec les réels, puisque on peut (en quelque sorte) s'approcher plus près de 0 avec les surréels qu'avec les réels. Il serait intéressant de calculer, ou caractériser, epsilon^epsilon avant de s'attaquer à 0^0.

Effectivement, il est tout à fait possible que l'exponentiation change de sens ou de définition surtout au point singulier 0^0, ou en ce qui concerne les surréels "purs" comme epsilon. Mais, dans une optique "réaliste", si les surréels sont plus "vrais" que les réels, alors le sens obtenu avec les surréels devrait être plus "vrai", plus profond, plus unificateur que le sens avec les réels. Mais de rêvons pas trop.

[Médiat]

bon j'en déduit donc que vous ne pouvez pas !

C'est exactement cela, mais peut-être pas pour les raisons que vous semblez croire.

[Médiat]

J'ai recherché des infos à ce sujet sur le Net, sans succès.

J'ai trouvé cela :
L. van den Dries and P. Ehrlich. Fields of surreal numbers and exponentiation. Fund. Math. 2(167):173–188, 2001


Mais je n'ai pas accès à une librairie universitaire et je ne l'ai pas trouvé sur le net (de plus, peut-être cet article ne traite-t-il que de la fonction exp).

La seule définition que j'ai trouvée pour 2^x est sur wikipedia anglais et fait appel à une définition récursive, donc, sans doute, liée aux mêmes décisions conventionnelles pour les cas limites du genre 0⁰. De plus la fonction logarithme sur les surreal coïncide avec la fonction logarithme sur les réels (donc n'est pas définie pour 0, je suppose), ce qui laisse présumer la même difficulté pour définir 0⁰ qu'avec les réels.

Une affaire à suivre

[G13]

Ton exemple des quaternions, dans le contexte où tu le donnes, est très mal choisi

En effet d'un point de vue physique les quaternions ont une structure naturellement adaptée à une physique 4D minkowskienne (la relativité est donc là ) via le produit naturel sur ce corps.

Bonjour,

Pourrais-tu expliquer (ou donner des références) sur le rôle des quaternions en physique ?
La forme quadratique sur les quaternions est une norme ( signature (4,0) ) tandis qu'en relativité c'est .
Merci d'avance

[Urgon]

J'ai trouvé cela :
L. van den Dries and P. Ehrlich. Fields of surreal numbers and exponentiation. Fund. Math. 2(167):173–188, 2001


Mais je n'ai pas accès à une librairie universitaire et je ne l'ai pas trouvé sur le net (de plus, peut-être cet article ne traite-t-il que de la fonction exp).

La seule définition que j'ai trouvée pour 2^x est sur wikipedia anglais et fait appel à une définition récursive, donc, sans doute, liée aux mêmes décisions conventionnelles pour les cas limites du genre 0⁰. De plus la fonction logarithme sur les surreal coïncide avec la fonction logarithme sur les réels (donc n'est pas définie pour 0, je suppose), ce qui laisse présumer la même difficulté pour définir 0⁰ qu'avec les réels.

Une affaire à suivre

Il y a des éléments intéressants sur l'exponentiation des surréels ici :

http://www.dm.unipi.it/~fornasiero/p...linearized.pdf

Et un calcul de .

[Médiat]

Il y a des éléments intéressants sur l'exponentiation des surréels ici :

http://www.dm.unipi.it/~fornasiero/p...linearized.pdf

Et un calcul de .

Il est bien dans ma liste .
Le même Fornaserio en a écrit un autre sur la récursion dans les surreals

[pi-r2]

Un petit déterrage de topic pour signaler que Jean François Geneste émet l'hypothèse que le monde physique soit isomorphe aux sur réels et pas aux réels.
Il voit la mécanique quantique comme une "affaire racine de 2". Les surréels permettraient de réprésenter la structure d'un éther qui serait non détectable directement à notre niveau de réalité.

[Médiat]

l'hypothèse que le monde physique soit isomorphe aux sur réels et pas aux réels.

Comment établit-on un isomorphisme entre une théorie mathématique et un "monde physique" par définition inaccessible ?

Il voit la mécanique quantique comme une "affaire racine de 2". Les surréels permettraient de réprésenter la structure d'un éther qui serait non détectable directement à notre niveau de réalité.

S'il s'agit "seulement" de proposer un nouveau cadre à des théories physique, pourquoi pas, c'est à l'usage qu'on en verra l'utilité, mais il peut plus être question d'isomorphisme avec le monde physique.

[Alcide_Nikopol]

Bonjour à tous.

Je me pose une question sur le lien éventuel entre nombres hyperréels () et surréels (No). Peut-être un intervenant aura-t-il des éléments de réponse.

Je lis souvent que les surréels sont une généralisation (une "extension") de la plupart des ensembles de nombres connus comme les nombres réels, les ordinaux et cardinaux de Cantor (1).

Parmi les ensembles ainsi englobés par les surréels figureraient également les hyperréels () de Robinson, ai-je cru comprendre.

Je n'ai toutefois vu nulle part d'explication sur la façon d'obtenir - dans cette classe No des surréels - un nombre hyperréel comme on peut trouver tel réel ou ordinal (plus exactement : leurs "images") ainsi que d'autres nombres sans équivalents dans d'autres constructions.

On nous explique en revanche que le ω de No serait "le même" que l'ordinal ω de Cantor (= son "image") à cette différence près que l'ω surréel possèderait, contrairement à l'ω cantorien, un inverse infinitésimal, généralement noté ε.

Or, le fait est qu'il existe également des nombres habituellement notés ω et ε dans la construction robinsonienne de .

Ma question serait la suivante.

SI l'ω surréel correspond bien à l'ω cantorien, ALORS son inverse ε dans No est forcément strictement inférieur à l'image dans No de l'ε hyperréel, n'est-ce pas ?

Puisque l'ω cantorien (son "image" dans No) est forcément supérieur à l'(image de l') ω robinsonien, pour autant que celui-ci existe effectivement dans No... En effet, selon les définitions respectives des ω cantorien et robinsonien, le premier est transfini (on peut le mettre en bijection, en tant qu'ensemble, avec l'une de ses parties) contrairement au second qui est fini (très grand, "hyperfini", mais fini).

Donc, puisque ω-cantorien > ω-robinsonien, nous avons bien : 1/ω-cantorien < 1/ω-robinsonien.

Si ce raisonnement tient, nous obtenons deux grandes "collections" d'infinitésimaux bien distinctes dans No :

• les inverses de transfinis,
• les inverses d'hyperfinis.

Êtes-vous d'accord ?

Cordialement.

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(1) mais pas des nombres complexes, du fait de l'impossibilité de les ordonner de la même façon.

[Médiat]

Bonjour,

Parmi les ensembles ainsi englobés par les surréels figureraient également les hyperréels () de Robinson, ai-je cru comprendre.

Je vous le confirme No "contient" tous les corps réels clos.

SI l'ω surréel correspond bien à l'ω cantorien, ALORS son inverse ε dans No est forcément strictement inférieur à l'image dans No de l'ε hyperréel, n'est-ce pas ?

Je ne vois pas pourquoi (je ne dis pas que c'est faux).

Puisque l'ω cantorien (son "image" dans No) est forcément supérieur à l'(image de l') ω robinsonien, pour autant que celui-ci existe effectivement dans No... En effet, selon les définitions respectives des ω cantorien et robinsonien, le premier est transfini (on peut le mettre en bijection, en tant qu'ensemble, avec l'une de ses parties) contrairement au second qui est fini (très grand, "hyperfini", mais fini).

Vous mélangez des définitions différentes dans des cadres différents, de plus, pour moi, l'ω robinsonien n'est pas fini, puisqu'il est plus grand que tout entier.

[Alcide_Nikopol]

l'ω robinsonien n'est pas fini, puisqu'il est plus grand que tout entier

Je devais avoir en mémoire l'article de Wikipédia sur l'analyse non-standard qui fait la plus grande part à la théorie de Nelson, ajoutant à ZFC les axiomes IST. Or, cette école n'a pas recours aux notations ou mais ajoute simplement de nouveaux éléments à ou : respectivement les entiers et réels "non-standards". Sur ces bases, l'article de Wikipédia nous dit :

il existe au moins un entier non standard. [...] dans l'ensemble des entiers, les entiers non standard sont également qualifiés d'inaccessibles, ou d'illimités, ou d'infiniment grands. Le terme « illimité » est peut-être mal choisi. Il pourrait faire croire que de tels entiers sont infinis. Mais tous les entiers sont finis ! Nous préférons donc le terme d'inaccessible ou d'infiniment grand. Les entiers non standard sont aussi appelés hypernaturels.

L'article explique ensuite le "théorème de Nelson" :

si E est un ensemble, il existe une partie finie X de E contenant tous les éléments standard de E. Cependant, on ne peut en conclure que les éléments standard d'un ensemble quelconque ont une cardinalité finie, puisque les éléments standard ne constituent pas un ensemble. [mais] il n'existe pas d'ensemble ne contenant que les entiers standard. Ainsi, dans les entiers, un ensemble X contenant tous les entiers standard est de la forme {0, 1, 2, ..., n} avec n non standard, et cet ensemble contient aussi des entiers non standard.

Pour ce que j'ai compris, le fait qu'un (sous-)ensemble contenant tous les entiers standards soit ici considéré comme "fini" procède du fait qu'il comporte forcément, en plus, un entier non-standard lui-même "fini" (mais nécessairement supérieur à tous les entiers standards, bien sûr).

En dehors de Wikipédia, on peut se référer par exemple à cet article (de C. Lobry et T. Sary), toujours basé sur les axiomes IST de Nelson : www.math.uha.fr/sari/papers/50mf.pdf

dans le langage classique, que nous tenons à conserver, un ensemble est “fini” lorqu’il ne peut pas être mis en bijection avec une partie propre de lui meme, ce qui reste le cas pour le sous ensemble de :
[0, 1, 2, ...., ω]
meme si ω est infiniment grand. Ainsi, dans le système de Nelson, la phrase :
"Soit ω un entier infiniment grand : l’ensemble [0, 1, 2, ...., ω] est fini."
est parfaitement correcte.

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Vous mélangez des définitions différentes dans des cadres différents

S'agissant d'interpréter les nombres non-standards comme des ensembles comparables aux ordinaux cantoriens, je me souvenais sans doute de cet article, certes moins universitaire, mais également basé sur la théorie IST de Nelson, et je suppose qu'il ne fait qu'appliquer à la notion d'ordinaux les raisonnements "non-standards" nelsoniens :

les entiers sont (du point de vue de la théorie formelle des ensembles) assimilables à des ensembles finis (appelés ordinaux finis). Ainsi, 0 = Ø, 1 = {Ø}, 2 = {Ø,{Ø}}, 3 = {Ø,{Ø},{Ø,{Ø}}}, ... etc, car tous ces ensembles sont des ordinaux, et clairement finis. Mais rien ne nous dit qu'il n'existe pas d'autres ordinaux finis que ceux construits à partir de l'ensemble vide. Ainsi, la théorie formelle des ensembles ZFC nous dit que 1, 2, 3 ... sont des entiers, mais ne nous dit pas s'il y en a d'autres. C'est là que la théorie des ensembles IST prend le relai en affirmant qu'il existe d'autres ordinaux finis que 1, 2, 3, 4, ... . De fait, 1, 2, 3, ... sont les ordinaux finis standard (car définis à partir de Ø qui est standard) et les autres (dont l'existence découle du 2ème principe) sont les ordinaux finis non-standard. On voit que ces ordinaux finis non-standard ressemblent bien à l'idée intuitive qu'on a d'un entier "infiniment grand" (d'où l'appellation d'entiers illimités); néanmoins, ils restent "finis" au sens mathématique du terme (pour mémoire, un ensemble est fini si aucune de ses partie ne peut être mise en bijection avec lui-même).

Sans doute n'ai-je pas pris assez garde de distinguer entre les analyses robinsonienne et nelsonienne : j'ai dû penser que ces deux théories expliquaient essentiellement "les mêmes choses d'une autre façon" et ne sauraient parvenir à des conclusions incompatibles (abstraction faites des problèmes de vocabulaire). Mais peut-être me suis-je un peu avancé (?)...

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SI l'ω surréel correspond bien à l'ω cantorien, ALORS son inverse ε dans No est forcément strictement inférieur à l'image dans No de l'ε hyperréel, n'est-ce pas ?

Je ne vois pas pourquoi (je ne dis pas que c'est faux).

J'aurais effectivement dû être plus précis puisque, comme nous le rappelle par exemple Wikipédia, l'ordre d'une inégalité entre deux nombres ne s'inverse, lors d'un "passage à l'inverse", que s'ils sont du même signe :

• Si a < b, alors 1/a > 1/b
• Si a > b, alors 1/a < 1/b

Or, même si l'ω robinsonien n'est pas défini aussi précisément que l'ω cantorien, l'un comme l'autre sont à ma connaissance positifs. Donc cette nécessaire précision me semble confirmer mon idée (pour autant que l'image de l'ω robinsonien dans No soit effectivement inférieure à l'image de l'ω cantorien).

L'article précise certes que cette règle vaut pour les inégalités entre nombres réels.

J'avoue avoir supposé qu'une règle analogue existait dans No, et que des nombres liés par de telles inégalités dans , ou dans les ordinaux cantoriens, le seraient également dans No "à l'isomorphisme près".

Cordialement.

[Médiat]

Bonsoir,

Je crois que vous faites une confusion, même en analyse standard un ensemble qui n'est constitué que d'ensembles finis peut très bien être infini, ce sont deux notions différentes.

Je ne vois pas pourquoi l'application définie sur [0, 1, 2, ...., ω], qui a tout entier standard n fait correspondre n + 1 et à tout non standard fait correspondre lui-même n'est pas une bijection de [0, 1, 2, ...., ω] sur une de ses parties propres (en terme de ZFC cet ensemble est simplement isomorphe à ω + 1 qui n'est pas fini).