"Réalité" des nombres surréels

[Urgon]

Bonjour à tous !

Je viens de lire, avec passion, l'article sur les nombres surréels de Jean-Paul Delahaye dans le dernier "Pour la Science".

Cette construction - que je trouve extrêmement élégante - réunit et généralise, dans un même processus de coupure de Dedekind, la construction des entiers, des rationnels, des réels, des transfinis, et des surréels purs en nombre infini entre deux réels. Les surréels donnent aussi un sens mathématiques précis aux infinitésimaux (plus petit que tout nombre réel, et supérieur à 0).

La question se pose inévitablement de savoir si les nombres "surréels" sont une pure invention, ou méritent un "statut" égal - voire supérieur - aux nombres réels.

JPD, sans le dire explicitement, semble penser que oui : il explicite même un cas où ils pourraient être utilisés avantageusement en physique pour modéliser le temps.

Son argument principal est que, les surréels formant un corps complet au même titre que les réels, on ne voit pas pourquoi on ne leur accorderait pas le même statut de "réalité" que les réels. La "réunification", en un seul et même processus élégant, des réels et des transfinis est aussi le signe "qu'il existe quelque-chose" qui a été découvert.

Je suis sensible à ces arguments, mais je me pose tout de même des questions. J'ai également des arguments qui me mènent à penser que les surréels n'ont pas le même statut de réalité que les réels et les voici :

- Dans l'histoire des matématiques, où ont été "inventés" successivement les entiers, les rationnels, les irrationnels, les transcendants, chaque étape a été franchie "par nécessité". La fameuse affaire "racine de 2" a mené, à contre coeur, aux irrationnels. Le cas de Pi à mené aux transcendants. Ici, aucune nécessité de passer aux surréels (que je sache) : on n'a découvert aucune constante mathématique fondamentale qui ne soit au pire transcendante. Même avec les infinitésimaux, "on se débrouille" avec les réels.

- Le "statut de réalité" de ces nombres (pour autant que cela ait un sens) dépend aussi (à mon opinion) de leur applicabilité en physique. Même si JPD a cité un exemple en ce sens, il ne m'a pas vraiment convaincu et m'a semblé assez artificiel.

Que pensez-vous de tout cela, et des arguments des uns et des autres ? Existe-t-il quelque-chose qui pourrait ressembler à une "affaire racine de 2" qui pourrait mener à penser que les réels sont insuffisants ?

Merci d'avances pour vos commentaires et vos réponses.
-----

[Médiat]

Bonjour,

Je n'ai pas lu l'article de "Pour la Science", mais j'ai lu quelques articles sur les surréels, il me semble que ce qu'ils amènent c'est la possibilité de manipuler l'infini de façon plus souple (peut-être moins intuitive ? Est-ce qu'il est plus intuitif de penser que l'infini - 1 est plus petit que l'infini ou égal à l'infini ?) qu'à l'aide d'autres théories ayant amené ces notions dans les réels, comme l'analyse non standard, par exemple.

Les nombres surréels sont, semble-t-il utile en théorie des jeux (cf. Conway).

Une chose que je n'ai pas trouvée, c'est une axiomatique pour les surréels, seulement une méthode (et même deux) de construction d'un modèle, cette définition apparaît-elle dans l'article ?

[Urgon]

Bonjour,

Je n'ai pas lu l'article de "Pour la Science", mais j'ai lu quelques articles sur les surréels, il me semble que ce qu'ils amènent c'est la possibilité de manipuler l'infini de façon plus souple (peut-être moins intuitive ? Est-ce qu'il est plus intuitif de penser que l'infini - 1 est plus petit que l'infini ou égal à l'infini ?) qu'à l'aide d'autres théories ayant amené ces notions dans les réels, comme l'analyse non standard, par exemple.

Les nombres surréels sont, semble-t-il utile en théorie des jeux (cf. Conway).

Une chose que je n'ai pas trouvée, c'est une axiomatique pour les surréels, seulement une méthode (et même deux) de construction d'un modèle, cette définition apparaît-elle dans l'article ?

Les surréels n'apportent pas seulement une modélisation des transfini et de leur manipulation, mais aussi "inventent" une infinité (une infinité d'infinités même..) de nombres entre chaque réel. Cela mène aussi (mais c'est la réciproque de savoir manipuler les infinis) à savoir manipuler les infinitésimaux..

D'après JPD, il existe une axiomatique pour les surréels : la généralisation de ZFC, qui se nomme NBG (Neumann, Bernays, Gödel), qui donne des règles strictes pour manipuler les surréels, et surtout les ensembles de ceux-ci, qui ne sont pas des ensembles, mais des classes.

Pour toi, l'existence d'une axiomatique est aussi un "critère de réalité" ?

[Médiat]

Les surréels n'apportent pas seulement une modélisation des transfini et de leur manipulation, mais aussi "inventent" une infinité (une infinité d'infinités même..) de nombres entre chaque réel. Cela mène aussi (mais c'est la réciproque de savoir manipuler les infinis) à savoir manipuler les infinitésimaux..

Oui, mais ça l'analyse non standard le fait très bien.

D'après JPD, il existe une axiomatique pour les surréels : la généralisation de ZFC, qui se nomme NBG (Neumann, Bernays, Gödel), qui donne des règles strictes pour manipuler les surréels, et surtout les ensembles de ceux-ci, qui ne sont pas des ensembles, mais des classes.

A ma connaissance NBG est une extension conservative de ZF, plus qu'une généralisation (mais bon, la différence est ténue), est-ce que tu pourrais nous donner cette axiomatisation ?

Pour toi, l'existence d'une axiomatique est aussi un "critère de réalité" ?

J'ai bien vu les guillemets que tu as mis à "réalité", mais même ainsi, je ne sais pas ce que cela veut dire, est-ce que les entiers ont une réalité ?
En tout état de cause, si je me pose la question de l'axiomatique, c'est que j'ai plus de facilité à manipuler des théories quand je connais leurs axiomes que lorsque je connais un modèle (c'est donc purement personnel).

Cordialement

[A voir en vidéo sur Futura]

[Urgon]

J'ai bien vu les guillemets que tu as mis à "réalité", mais même ainsi, je ne sais pas ce que cela veut dire, est-ce que les entiers ont une réalité ?

C'est la question de fond de ce fil, qui a pourtant un sens. En tout cas Alain Connes, Roger Penrose, Kurt Gödel, pour ne nommer que quelques-uns, sont persuadés que cette question a un sens. Je ne verrais aucun inconvénient à voir digresser ce fil sur ce thème, mais pour le moment restons-en aux surréels.

Pour poser la même question autrement, sans parler de réel (mais cela revient au même), je pense qu'il est raisonnable d'avoir des idées et des opinions sur les questions suivantes :

1) Pensez-vous que les surréels peuvent jouer un rôle en physique et supplanter les réels dans de futures théories physiques ?

2) Pensez-vous qu'il est possible qu'il y aie une "affaire racine de 2" (c'est à dire la découverte d'une entité mathématique ayant un rôle majeur en math qui ne serait pas exprimable sous forme de réel) concernant les réels qui pousserait à aller plus loin que les réels ? Est-ce qu'il y a des indices, des pistes, des frémissements qui peuvent mener à penser que cela peut arriver ?

Quelles sont vos idées et opinions concernant ces deux questions ?

[Médiat]

C'est la question de fond de ce fil, qui a pourtant un sens. En tout cas Alain Connes, Roger Penrose, Kurt Gödel, pour ne nommer que quelques-uns, sont persuadés que cette question a un sens.

Je n'ai pas dit que la question n'avait pas de sens, mais que je ne la comprenais pas ; Est-ce que le monde des idées de Platon (dont se réclame Alain Connes, Roger Penrose et Kurt Gödel) possède des frontières et une police permettant de n'accorder de permis de séjour qu'à certaines idées ?

Je ne verrais aucun inconvénient à voir digresser ce fil sur ce thème, mais pour le moment restons-en aux surréels.

Dont acte.

Quelles sont vos idées et opinions concernant ces deux questions ?

Personnellement, aucune idée ni opinion.

[invite6b1a864b]

Bonjour à tous !

Je viens de lire, avec passion, l'article sur les nombres surréels de Jean-Paul Delahaye dans le dernier "Pour la Science".

Cette construction - que je trouve extrêmement élégante - réunit et généralise, dans un même processus de coupure de Dedekind, la construction des entiers, des rationnels, des réels, des transfinis, et des surréels purs en nombre infini entre deux réels. Les surréels donnent aussi un sens mathématiques précis aux infinitésimaux (plus petit que tout nombre réel, et supérieur à 0).

La question se pose inévitablement de savoir si les nombres "surréels" sont une pure invention, ou méritent un "statut" égal - voire supérieur - aux nombres réels.

JPD, sans le dire explicitement, semble penser que oui : il explicite même un cas où ils pourraient être utilisés avantageusement en physique pour modéliser le temps.

Son argument principal est que, les surréels formant un corps complet au même titre que les réels, on ne voit pas pourquoi on ne leur accorderait pas le même statut de "réalité" que les réels. La "réunification", en un seul et même processus élégant, des réels et des transfinis est aussi le signe "qu'il existe quelque-chose" qui a été découvert.

Je suis sensible à ces arguments, mais je me pose tout de même des questions. J'ai également des arguments qui me mènent à penser que les surréels n'ont pas le même statut de réalité que les réels et les voici :

- Dans l'histoire des matématiques, où ont été "inventés" successivement les entiers, les rationnels, les irrationnels, les transcendants, chaque étape a été franchie "par nécessité". La fameuse affaire "racine de 2" a mené, à contre coeur, aux irrationnels. Le cas de Pi à mené aux transcendants. Ici, aucune nécessité de passer aux surréels (que je sache) : on n'a découvert aucune constante mathématique fondamentale qui ne soit au pire transcendante. Même avec les infinitésimaux, "on se débrouille" avec les réels.

- Le "statut de réalité" de ces nombres (pour autant que cela ait un sens) dépend aussi (à mon opinion) de leur applicabilité en physique. Même si JPD a cité un exemple en ce sens, il ne m'a pas vraiment convaincu et m'a semblé assez artificiel.

Que pensez-vous de tout cela, et des arguments des uns et des autres ? Existe-t-il quelque-chose qui pourrait ressembler à une "affaire racine de 2" qui pourrait mener à penser que les réels sont insuffisants ?

Merci d'avances pour vos commentaires et vos réponses.

Moi je suis à fond pour les surrééls (on peut difficilement exclure l'infinie de la description de la réalité, si ce n'est visible, au moins comme influant).. a mon avis le "statut" de réalité des rééls n'est amené comme vous le dite que parce qu'on peut les avoir sous les yeux, comme Pi ou Racine de 2 (ce qui d'ailleurs est faux : si il existe une infinité de réél, alors aucun d'eux n'est observable en réalité, car il faudrait une précision infinie, ce qui, en M.Q. semble impossible)
Au paravant les rééls irrationnel était construit par rapport au réél, eux même par rapport au entier : racine de 2 est, le nombre qui a pour carré 2. Les transcendants justement était plus étrange : la construction ne peut faire appel qu'à une formule infinie, comme Pi.
Le fait qu'une construction permette d'obtenir d'un coup tout les nombres, donne une cohérence globale aux rééls. .
Gardons nous de considéré que les uns sont les uns, et les autres sont les autres. Il n'existe qu'un nombre "0" et qu'un nombre "1", dans la réalité. Donc les surrééls incluent réélement les rééls. Ce ne sont pas des ensembles disjoints. On a souvent tendance à isoler les objets mathématiques.. ce qui est un tord. Les propriétés des objets mathématiques, porté par des axiomes, suffisent à les définir. Tous ensemble d'objet porteur des mêmes propriétés de base possèdent les mêmes propriétés qui en découle.
C'est parce que la construction des surrééls incluent la construction des rééls que les surrééls incluent les rééls : la propriété des ensembles découlent de la construction. Au final, on devrait étudier les régles de construction des ensembles comme étant les axiomes de base de leur propriété.
On pourrait d'ailleurs imaginer des régles de construction plus complexe qui donnerait d'autre ensemble avec des propriétés différentes..

[invite6b1a864b]

Oui, mais ça l'analyse non standard le fait très bien.

A ma connaissance NBG est une extension conservative de ZF, plus qu'une généralisation (mais bon, la différence est ténue), est-ce que tu pourrais nous donner cette axiomatisation ?

J'ai bien vu les guillemets que tu as mis à "réalité", mais même ainsi, je ne sais pas ce que cela veut dire, est-ce que les entiers ont une réalité ?
En tout état de cause, si je me pose la question de l'axiomatique, c'est que j'ai plus de facilité à manipuler des théories quand je connais leurs axiomes que lorsque je connais un modèle (c'est donc purement personnel).

Cordialement

Hum.
Les entiers ont une réalité. Prenez trois pommes.
Partager équitablement avec votre voisin : vous êtes obligé d'en couper une.
Prenez quatres pommes. Partager avec votre voisin : deux chacun et le tour est joué. Il existe une vrai différence entre les groupes de trois objets et les groupes de quatre objets.
Donnons un nom à cette propriété que nous observons entre les différents groupe de chose : ce sont les entiers.
Alors bien sur, le regroupement de ces groupes, l'identification de ces différents symmétrie entre groupe d'objet, n'existe que dans nos têtes.. mais il y a une bien une différence entre trois pommes et quatre pommes : une pomme.

[Médiat]

Les propriétés des objets mathématiques, porté par des axiomes, suffisent à les définir.

En dehors de toute précision contraire, je peux supposer que l'on se situe en logique classique du premier ordre, la plus habituelle, sinon, merci de préciser de quelle logique il s'agit. En tout état de cause en FOL comme disent les anglophones (First Order Logic), cette affirmation est manifestement fausse puisqu'elle nie qu'une théorie puisse avoir plusieurs modèles.

[invite6b1a864b]

En dehors de toute précision contraire, je peux supposer que l'on se situe en logique classique du premier ordre, la plus habituelle, sinon, merci de préciser de quelle logique il s'agit. En tout état de cause en FOL comme disent les anglophones (First Order Logic), cette affirmation est manifestement fausse puisqu'elle nie qu'une théorie puisse avoir plusieurs modèles.

Je serais curieux de voir un contre exemple. Par définition, les mathématiques n'utilise que des régles de vérification interne = les propositions découlent des axiomes.
Il y a une impossibilité réél et physique à faire un travail formel selon des axiomes indépendant de la réalité qui conduise à rechercher des propositions dont la véracité ne dépend pas de ces axiomes.
Si la véracité dépend de la réalité, alors c'est de la physique et pas des mathématiques.

[invite6b1a864b]

En dehors de toute précision contraire, je peux supposer que l'on se situe en logique classique du premier ordre, la plus habituelle, sinon, merci de préciser de quelle logique il s'agit. En tout état de cause en FOL comme disent les anglophones (First Order Logic), cette affirmation est manifestement fausse puisqu'elle nie qu'une théorie puisse avoir plusieurs modèles.

J'aimerais dire d'avance que si j'arrive à montrer que le contre exemple qui va probablement m'être donné résulte d'une mauvais construction ou d'une erreur commise par les grands scientifiques qui l'on pondu (ce qui est possible), j'aimerais ne pas être censuré..

[Médiat]

Hum.
Les entiers ont une réalité. Prenez trois pommes.
Partager équitablement avec votre voisin : vous êtes obligé d'en couper une.
Prenez quatres pommes. Partager avec votre voisin : deux chacun et le tour est joué. Il existe une vrai différence entre les groupes de trois objets et les groupes de quatre objets.
Donnons un nom à cette propriété que nous observons entre les différents groupe de chose : ce sont les entiers.
Alors bien sur, le regroupement de ces groupes, l'identification de ces différents symmétrie entre groupe d'objet, n'existe que dans nos têtes.. mais il y a une bien une différence entre trois pommes et quatre pommes : une pomme.

Je ne vois pas de maths là.

[Médiat]

Je serais curieux de voir un contre exemple. Par définition, les mathématiques n'utilise que des régles de vérification interne = les propositions découlent des axiomes.
Il y a une impossibilité réél et physique à faire un travail formel selon des axiomes indépendant de la réalité qui conduise à rechercher des propositions dont la véracité ne dépend pas de ces axiomes.
Si la véracité dépend de la réalité, alors c'est de la physique et pas des mathématiques.

N'importe quelle théorie qui ne soit pas catégorique par exemple, regarde la théorie des types et de la stabilité (tous les articles de Shelah).

[Urgon]

J'ai du mal à suivre One Eye Jack.

D'un côté il dit :

Les entiers ont une réalité. Prenez trois pommes. etc..

En disant cela, il semble dire que le rapport intuitif avec la réalité (les pommes) donne un critère de réalité pour les entiers.

D'un autre côté il dit :

Par définition, les mathématiques n'utilise que des régles de vérification interne.. Si la véracité dépend de la réalité, alors c'est de la physique et pas des mathématiques

Qui semble dire (et c'est une opinion qui se tient très bien, c'est d'ailleurs ce que dit peu ou prou JPD) que à partir du moment où la construction est mathématiquement cohérente alors elle "existe", indépendamment de la "réalité". C'est juste le contraire de la première intervention de OEJ.

Bon : je pense que le critère de comparaison des surréels avec la "réalité" n'est pas applicable : les surréels sont loin de notre intuition et loin de tout exemple "réel".

D'un autre côté, si on défend l'opinion contraire "les mathématiques n'utilise que des régles de vérification interne", alors c'est l'argument de JPD, j'ai déjà expliqué en quoi il me semblait insuffisant, et nous n'avançons pas.

Pour moi, ni l'un ni l'autre "critère" ne sont satisfaisants.

Pour faire sentir ce que pourraient être des critères de réalité, voici comment Penrose défend que le corps des complexes est "supérieur", "plus réel" que le corps des réels, et que les complexes devraient être à la base de toute théorie physique.

Il montre (dans son dernier livre "A la découverte des lois de l'univers") que les complexes mènent par exemple à un des prolongements analytiques élégants de fonctions qui sont discontinues dans R, par exemple 1/X (en utilisant une géométrie projective sur une sphère de Riemann, ce qui fait que l'infini fait partie du domaine de définition), ou de la fonction logarithme avec les surfaces de Riemann.

Il montre également l'élégance, la cohérence et la productivité de l'analyse complexe en général, des hyperfonctions etc..

L'élégance, la productivité, la cohérence sont pour lui de très bons indices d'une certaine "réalité", ou "supériorité" de certains corps sur d'autres.

Par exemple, le corps des quaternions, et plus encore des octonions sont assez stériles et peu élégants, et dissuadent de "les prendre au sérieux" pour fonder par exemple des théories physiques dessus, ou pour simplement remplacer les complexe comme généralisation pertinente.

Donc, ce même genre de question se pose pour les surréels par rapport aux réels. J'attendais éventuellement de cette discussion des exemples "à la Penrose" d'élégance, de cohérence ou de productivité des surréels (ou au contraire des exemples montrants qu'ils sont moins élégants et plus lourds que les réels, à la manière des quaternions par rapport aux complexes).

Mais je ne perd pas espoir...

[Gwyddon]

Bonjour,

Par exemple, le corps des quaternions, et plus encore des octonions sont assez stériles et peu élégants, et dissuadent de "les prendre au sérieux" pour fonder par exemple des théories physiques dessus, ou pour simplement remplacer les complexe comme généralisation pertinente.

Ton exemple des quaternions, dans le contexte où tu le donnes, est très mal choisi

En effet d'un point de vue physique les quaternions ont une structure naturellement adaptée à une physique 4D minkowskienne (la relativité est donc là ) via le produit naturel sur ce corps.

Si en plus on se souvient que le corps des quaternions est non-commutatif et que l'on se souvient que la non-commutativité joue un rôle crucial en physique quantique, on se dit que finalement si on devait prendre le critère de Penrose de "réalité" (critère tout à fait subjectif au passage, comme tout critère reposant sur l'élégance ) alors les quaternions sont encore plus "réels" que les complexes puisque les englobant et se rapprochant de la structure mathématiques des théories fondamentales de la physique

[Médiat]

(critère tout à fait subjectif au passage, comme tout critère reposant sur l'élégance )

Sans que compter que juger d'un critère portant sur les mathématiques en fonction de son usage plus ou moins élégant en physique, c'est extrêmement réducteur (comme si on jugeait le bleu Klein à l'aune d'un peintre en bâtiment )

[Gwyddon]

Je me rend compte que j'ai un peu rebondi sur une remarque annexe du sujet, donc je vais ici clôturer le HS en rebondissant sur le message de Mediat : c'est plutôt à l'aune des mathématiques que l'on juge (de manière tout aussi subjective que ce que j'ai relevé dans mon message précédent ) de l'élégance d'une théorie physique et non le contraire.

Ainsi on n'a pas attendu la relativité générale pour trouver la géométrie différentielle "élégante" et puissante. Par contre l'utilisation assez naturelle de ces outils mathématiques (et surtout de la formulation de Cartan et des espaces fibrés) ont fait dire que la relativité générale était particulièrement élégante

[invite6b1a864b]

Je ne vois pas de maths là.

La question était "les entiers sont ils rééls ?" la réponse est oui. Les entiers représentent des symétries entre situations en fait..

[invite6b1a864b]

N'importe quelle théorie qui ne soit pas catégorique par exemple, regarde la théorie des types et de la stabilité (tous les articles de Shelah).

Donc ces théories fournissent des propositions qui ne dépendent pas des axiomes ??

D'autre part je vais faire le plan de ce que je pense, et vous allez comprendre.

C'est le constructivisme.
La réalité est une information paradoxale, qui n'est pas différente d'une information, mais simplement infiniment complexe. Donc
- La réalité dépend des mathématiques, est "incluse" dedans, mais n'est pas la "totalité" des mathématiques. Les mathématiques forment le cadre de la réalité. La physique cherche à déterminer, ce qui dans les mathématiques (la simple cohérence, l'intelligibilité) fait partie de la "réalité" de ce qui n'en fait pas partie.
- Tout ce qui est possible, tout ce qui est cohérent, n'existe pas pour autant : les mathématiques sont "plus vastes" que la réalité.
- Donc oui, les rééls, les entiers ont des représentants, des représentations dans la réalité. Oui les régles de cohérence interne ont des applications concrête, car la réalité elle-même est le fruit d'un ensemble de régle avec cohérence (mais infiniment complexe, contrairement à une théorie finit) avec une cohérence interne (interne à la réalité (donc externe..) : définissant le réél).

- Maintenant, la réalité de votre imagination dans sa vastitude, va pouvoir contenir toute les constructions que vous voulez y mettre. Cela ne signifie pas que ces constructions auront de représentant (.. autre que vos neurones qui en sont les représentants, les porteurs réél).

Donc les constructions qu'on peut faire, comme les entiers, les rééls, vont exister sur la base de leur cohérence, et, il se trouve que ceux là auront une représentation réél dans la cohérence de la réalité.
Tout ce qu'on peut imaginer n'a pas de représentant, mais les principes qui prévale à cette imagination peut en avoir. Le docteur Zoidberg n'a pas de représentant réél. Pourtant il existe des docteurs.


Tout ça pour dire que la contradiction entre "les rééls ont des représentants" et "la véracité en mathématique se déduit des axiomes" n'est qu'apparente : la réalité se déduit (d'une partie) d'une mathématiques.
C'est comme si nous pouvions construire des maisons (dont la forme dépend toujours des briques (la cohérence : la véracité mathématique) ) et que nous avions par ailleurs sous les yeux une cathédrale (la réalité) dont nous pouvions toujours étudier les briques (la correspondance entre nos maisons imaginaires et la cathédrale étant la "véracité physique"). La brique "continue" et la brique "nombre entier" existe dans la réalité..

[invite6b1a864b]

N'importe quelle théorie qui ne soit pas catégorique par exemple, regarde la théorie des types et de la stabilité (tous les articles de Shelah).

Ola..
puisque vous ne faites pas l'effort d'argumenter, je ne vais pas faire l'effort de vous contredire..

[Urgon]

juger d'un critère portant sur les mathématiques en fonction de son usage plus ou moins élégant en physique

Nonnon.. L'élégance, et la productivité, telle qu'elle est décrite et soutenue par Penrose est bien celles des mathématiques en elle-même (prolongements analytiques, cohérence etc.. comme je l'ai écrit plus haut), pas par rapport à la physique.

C'est cette élégance intrinsèque qui mène à l'idée que cela pourrait être appliqué à la physique. Ce n'est pas une condition de départ.

[invite6b1a864b]

Je suis désolé, si je me met en colère.. ce qui m'ennuie c'est cette espèce d'hydre à plusieurs tête, qui invariablement, va vous faire pondre toute plein d'affirmation contradictoire. On dirait que les gens sont incapables d'accepter la simplificité des choses. J'en ai un peu marre d'avoir à expliquer ce que sont les mathématiques, ce qu'est la physique. Non il n'y pas de paradoxe, il n'y pas de magie extérieur qui vient semer des possibilités dialogues et de liberté.
Les axiomes et leur implication sont une construction de l'esprit. L'existence de leur application réside dans.. L'ESPRIT.
ça vous est tellement incroyable de vous voir en train de manipuler des propositions à partir des axiomes, de voir le lien de causalité directe entre eux et les propositions qui en découle. De voir qu'il n'y a pas de lutin facétieux qui vient y glisser un paradoxe ou un indécidable ? De faire la différence entre la cohérence entre proposition et axiome et la véracité, le rapport entre votre "construction de l'esprit" et la réalité ?
On dirait que vous faites des maths comme on joue au légo : vous empiler des trucs sans réflechir à ce que ça veut dire.. aucune philosophie derrière.
C'est ça qui m'ennerve. Je réflechie sur la réalité et vous vous jouer avec les mots.

[invite6b1a864b]

D'ailleurs le 25 janvier, j'avais publié ça :


http://forums.futura-sciences.com/ma...e-linfini.html

[invite6b1a864b]

Je suis désolé, si je me met en colère.. ce qui m'ennuie c'est cette espèce d'hydre à plusieurs tête, qui invariablement, va vous faire pondre toute plein d'affirmation contradictoire. On dirait que les gens sont incapables d'accepter la simplificité des choses. J'en ai un peu marre d'avoir à expliquer ce que sont les mathématiques, ce qu'est la physique. Non il n'y pas de paradoxe, il n'y pas de magie extérieur qui vient semer des possibilités dialogues et de liberté.
Les axiomes et leur implication sont une construction de l'esprit. L'existence de leur application réside dans.. L'ESPRIT.
ça vous est tellement incroyable de vous voir en train de manipuler des propositions à partir des axiomes, de voir le lien de causalité directe entre eux et les propositions qui en découle. De voir qu'il n'y a pas de lutin facétieux qui vient y glisser un paradoxe ou un indécidable ? De faire la différence entre la cohérence entre proposition et axiome et la véracité, le rapport entre votre "construction de l'esprit" et la réalité ?
On dirait que vous faites des maths comme on joue au légo : vous empiler des trucs sans réflechir à ce que ça veut dire.. aucune philosophie derrière.
C'est ça qui m'ennerve. Je réflechie sur la réalité et vous vous jouer avec les mots.

pardonnez moi je devrais pas m'énerver autant !

[Urgon]

Je suis désolé, si je me met en colère.. ce qui m'ennuie c'est cette espèce d'hydre à plusieurs tête, qui invariablement, va vous faire pondre toute plein d'affirmation contradictoire. On dirait que les gens sont incapables d'accepter la simplificité des choses. J'en ai un peu marre d'avoir à expliquer ce que sont les mathématiques, ce qu'est la physique. Non il n'y pas de paradoxe, il n'y pas de magie extérieur qui vient semer des possibilités dialogues et de liberté.
Les axiomes et leur implication sont une construction de l'esprit. L'existence de leur application réside dans.. L'ESPRIT.
ça vous est tellement incroyable de vous voir en train de manipuler des propositions à partir des axiomes, de voir le lien de causalité directe entre eux et les propositions qui en découle. De voir qu'il n'y a pas de lutin facétieux qui vient y glisser un paradoxe ou un indécidable ? De faire la différence entre la cohérence entre proposition et axiome et la véracité, le rapport entre votre "construction de l'esprit" et la réalité ?
On dirait que vous faites des maths comme on joue au légo : vous empiler des trucs sans réflechir à ce que ça veut dire.. aucune philosophie derrière.
C'est ça qui m'ennerve. Je réflechie sur la réalité et vous vous jouer avec les mots.

J'ai toujours bien du mal à te suivre, OEJ. Ceux qui croient à une certaine forme de réalisme en mathématique (Connes, Gödel etc..) sont justement ceux qui réfléchissent intensément aux fondements des mathématiques, qui ont une philosophie bien précise, jusqu'à même y consacrer des livres sur ce thème (comme "Matières à pensée" par Connes et Changeux, par exemple).

Ceux qui, au contraire, refusent de mettre en rapport les mathématiques avec la réalité ne se posent pas de question sur les rapports entre les mathématiques et la physique, sur "l'incroyable efficacité des mathématiques", "n'ont pas d'opinion" (sur ce sujet en tout cas) comme Mediat plus haut (et c'est une attitude tout à fait respectable, mais c'est juste tout le contraire de ce que tu dis).

Personnellement, aucune idée ni opinion.

Bref, je ne comprend rien à ce que tu dis.

[Médiat]

Ola..
puisque vous ne faites pas l'effort d'argumenter, je ne vais pas faire l'effort de vous contredire..

Argumenter quoi ? Tu demandes un exemples, je t'en donne des milliers, que veux-tu de plus ? Mais peut-être ne connais-tu pas la théorie des types ou les travaux de Shelah, ce qui serait embêtant pour quelqu'un qui affirme :

J'en ai un peu marre d'avoir à expliquer ce que sont les mathématiques

[Médiat]

La question était "les entiers sont ils rééls ?" la réponse est oui. Les entiers représentent des symétries entre situations en fait..

Pour citer une source fiable

puisque vous ne faites pas l'effort d'argumenter, je ne vais pas faire l'effort de vous contredire.

[Médiat]

Les propriétés des objets mathématiques, porté par des axiomes, suffisent à les définir

Donc ces théories fournissent des propositions qui ne dépendent pas des axiomes ??

Les mots ont leur importance, je répondais à la première phrase, pas à la deuxième, que je ne comprends pas (que veux dire qu'une théorie fournisse des propositions ?)

[Médiat]

Nonnon.. L'élégance, et la productivité, telle qu'elle est décrite et soutenue par Penrose est bien celles des mathématiques en elle-même (prolongements analytiques, cohérence etc.. comme je l'ai écrit plus haut), pas par rapport à la physique.

Bonjour,
Désolé d'avoir mal compris, mais je comprends encore moins, non seulement l'argument de Gwyddon sur la subjectivité devient primordial (par exemple, pour moi, le minimum d'élégance pour une théorie est d'être axiomatisable, si possible finiment, sinon récursivement dénombrable, mais je comprends que ce n'est pas forcément le cas de toute le monde), mais surtout, je ne vois plus l'intérêt de ce qualificatif, si "réalité d'une théorie" = "élégance de la théorie", pourquoi introduire un vocabulaire aux connotations très lourdes (envahissantes, même), et pourquoi ne pas se contenter de dire que telle théorie est élégante ou non (en ayant conscience de la subjectivité d'une telle classification).

[invite6b1a864b]

Les mots ont leur importance, je répondais à la première phrase, pas à la deuxième, que je ne comprends pas (que veux dire qu'une théorie fournisse des propositions ?)

La véracité des propositions d'une théorie mathématique dépend elle uniquement de ses axiomes oui ou non ?
Bien évidemment que les axiomes fournissent des propositions.. vous vous rappeler pas "comme (xxx)... et que <axiome> alors (yyy) "
Vous faites comment pour utiliser les théories mathématiques vous ??