Équation différentielle

[inviteadc815e5]

Bonjour,

Pour un travail en physique, je suis amené à résoudre une équation différentielle. Malheureusement, je suis pas très fort dans ce domaine, et j'aimerai bien savoir comment (donc pas seulement la réponse) la résoudre.
Voici l'équation :

Les conditions initiales sont :

et


Ce qui m'embête surtout c'est le mélange entre des dérivées par rapport à x et par rapport à y. Je suis donc un peu perdu.

Pour mettre ceci dans un contexte, c'est simplement la résolution de la trajectoire d'une particule dans un champ magnétique.
Pour le problème, je me suis beaucoup basé sur une démonstration [1] trouvé sur le web, malheureusement la résolution est vite liquidée par "Une solution très simple à ces deux équations différentielles est ... "
Un pdf (page 2 et 3) [2] trouvé aussi le web, lui est plus complet quant à la résolution mais là par contre je ne comprends pas très bien... De plus la réponse finale est légèrement différente (un -1 apparaît en plus pour la composante y).

Quelqu'un pourrait m'aider à la résolution de cette équation ?
Un très grand merci !

[1] : http://www.sciences.ch/htmlfr/electr...hp#rayonlarmor
[2] : http://melusine.eu.org/syracuse/imma...netisme/06.pdf

Ps : Je recopie les deux solutions trouvées en cas de problème des sites cités :


Le PDF donne lui

Bien entendu le cas z ne pose pas de soucis particulier.
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[Paraboloide_Hyperbolique]

Bonsoir,

Pour la manière de faire et vous mettre sur la piste, voici ce que je propose: réécrire votre système d'équations sous forme matricielle. Si l'on ne considère que x et y (je suppose que ce sont ces deux variables dont les dérivées sont couplées qui vous ennuient), le cas de z étant trivial (découplé de x, y et de leurs dérivées); on a:



Le problème est couplé du fait que la seconde matrice n'est pas diagonale. Pour découpler le problème et obtenir deux équations différentielles indépendantes, il faut:

1. Diagonaliser la seconde matrice (c'est assez facile).
2. Effectuer le changement de variable (changement de base) donné par la matrice des vecteurs propres.
3. Résoudre les équations différentielles découplées dans cette base.
4. Effectuer le changement de base inverse sur le vecteur des solutions trouvées (multiplication par la transposée de la matrice des vecteurs propres).
5. Ecrire la solution finale.

[gg0]

Bonjour.

On peut remarquer que la question se simplifie si on prend comme fonctions inconnues et . Connaissant X et Y, on trouvera facilement x et y.

"Ce qui m'embête surtout c'est le mélange entre des dérivées par rapport à x et par rapport à y" ?? On dérive partout apr rapport à t. x, y et z sont des fonctions de la même variable t.

En partant de

puis en dérivant la première égalité et remplaçant à l'aide de la deuxième, on trouve une équation différentielle du second ordre sur X, qui se résout (solution générale, on n'a qu'une seule condition initiale, on l'utilisera plus tard.). Idem pour Y, en dérivant la deuxième équation et remplaçant.
En revenant aux équations, on trouve des liens entre les constantes, puis les conditions initiales sur X et Y permettent de les calculer
Il ne reste plus qu'à intégrer pour obtenir x et y.

Cordialement.

[inviteadc815e5]

La solution de gg0 me paraissait plus simple donc je suis parti sur cette voie.
Un très grand merci à gg0. Ça faisait longtemps que je manipulais plus les équadiffs, j'ai mis 2 heures pour résoudre mais j'y suis arrivé. OUF.
J'obtiens bien la première réponse, je ne sais pas d'où sort le moins sur la solution du pdf...

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Bonjour.

Aucune des deux solutions que tu as trouvées sur Internet ne vérifie les conditions initiales.
Peux-tu donner les étapes de ta résolution ?

Cordialement.

[albanxiii]

Bonjour,

En physique on pose classiquement et on se ramène à une EDO du deuxième ordre en , ici linéaire homogène à coefficients constants. Ca se résout, non ?
On revient à et en prenant les parties réelles et imaginaires, après avoir détemriné les constantes dans à l'aide des conditions initiales.

@+

[inviteadc815e5]

@gg0 : En recopiant, je viens de voir que j'ai fait une grosse erreur un moment donné. Voici le détail actuel, avec ma solution à la fin.
Je la donne en détail pour être bien certains.
L'équation différentielle à résoudre :



Je pose :



En remplaçant et en dérivant, j'obtiens :



Les deux équations sont identiques, je résous celle avec X et ensuite je reprendrais le résultat pour Y.
La fonction caractéristique de l'équadiff est :

Le discriminant est négatif :


L'équation générale prend donc la forme :



avec



Vu qu'il n'y a pas de terme indépendant dans notre équation différentielle,
la solution se confond avec la solution générale. Donc :


Idem pour Y :


Ensuite, j'utilise ces résultats que je mets dans ma première équation principale, j'obtiens :

Vu que cette équation doit être valable , je prends le cas où , l'équation se réduit à :


Je refais la même chose avec l'équation en Y (toujours avec ) j'obtiens :


En tenant compte des conditions initiales, donc en :



Ce qui donne finalement :



Il suffit simplement d'intégrer pour trouver la solution en x et y :



Est-ce correct ?

Par contre, maintenant je n'ai plus l'équation d'un cercle (ou hélice si ) que je suis censé avoir... Peut-être alors qu'on obtient un cercle (ou hélice) seulement dans le cas précis où ...

@albanxiii : Je ne suis pas très fort en équadiff, je suis resté dans la solution de gg0 qui me paraît la plus simple... Il faudrait que je retrouve comment résoudre une équadiff dans les complexes pour ta solution... c'est peut-être et même sûrement aussi simple, je ne le nie pas.

[inviteadc815e5]

Je viens de tester sous un tableur, et ça donne bien un cercle en fait.
Si l'équation est juste, il n'y aurait pas moyen de la réécrire sous une forme où on remarque clairement que c'est une équation d'un cercle et surtout, qu'on retrouve son rayon facilement ?
Merci.

[Calvert]

Salut !

Si l'équation est juste, il n'y aurait pas moyen de la réécrire sous une forme où on remarque clairement que c'est une équation d'un cercle et surtout, qu'on retrouve son rayon facilement ?

Calculer ??

[inviteadc815e5]

Il faut jouer avec les identités trigonométriques et on y arrive. Il faut en fait savoir que :

avec
Et on a la même chose mais avec un cosinus au lieu d'un sinus, et il faut inverser la fraction pour avoir le phi.

Je pense que ce topic est donc résolu.

Un grand merci à tous pour votre aide.

[gg0]

Bonjour Lerat.

"Est-ce correct ?" (message #7) Non ! Tu as oublié la constante d'intégration, qui va te manquer pour les conditions initiales sur x et y. Tu n'as d'ailleurs pas x(0)=0.

Cordialement.

[inviteadc815e5]

Bonjour Lerat.

"Est-ce correct ?" (message #7) Non ! Tu as oublié la constante d'intégration, qui va te manquer pour les conditions initiales sur x et y. Tu n'as d'ailleurs pas x(0)=0.

Cordialement.

Elle m'aura donné du mal cette équadiff. En effet, complètement zappé cette CI.



Est-ce finalement correct ?

Un grand merci en tout cas pour ton implication.

[gg0]

Est-ce finalement correct ?

Et si tu faisais la vérification ? Après tout, si tu l'avais fait précédemment, tu aurais vu que tu avais faux.

Cordialement.

[inviteadc815e5]

Au niveau CI, tout est correct.
Cordialement.