Aire Sphère par la géométrie.

[invite93985d50]

Bonjour,

je pense que vous connaissez le petit raisonnement geometrique qui permet d'obtenir l'aire du cercle, en le decoupant en triangle a partir du centre, en "depliant" le cercle pour faire un segment et en regroupant les triangles en un seul de base 2*Pi*R et hauter R.
On obtient Pi*R2, l'aire d'un cercle.

J'essaie d'appliquer un raisonnement similaire pour l'aire d'une sphère.
Je prends au depart une demi sphère, je decoupe une infinité de triangles dont le sommet est le sommet de la sphere. Ce sont des triangles arrondis.Ensuite je mets les triangle droit, ca donne un peu une couronne de triangles qui ont chacun une hauteur, Pi * R /2.
Je deplie la couronne, je rassemble les triangles, ca me donne un triangle de base 2*Pi*R et de hauteur Pi*R/2.
Son aire est donc de 1/2*Pi^2*R^2.
L'aire de la sphere est donc Pi^2*R^2.

Ou est l'erreur dans le raisonnement, mis à part que c'est un raisonnement "géométrique".
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[invite986312212]

je pense que vous connaissez le petit raisonnement geometrique qui permet d'obtenir l'aire du cercle, en le decoupant en triangle a partir du centre, en "depliant" le cercle pour faire un segment et en regroupant les triangles en un seul de base 2*Pi*R et hauter R.
On obtient Pi*R2, l'aire d'un cercle.

non je connais pas. Mais je devine qu'il faut beaucoup beaucoup de triangles... tu peux me l'expliquer en détail?

[Jeanpaul]

Je crois que l'erreur est de dire que la surface développée de ton quartier d'orange est un triangle, c'est-à-dire que la largeur varie linéairement avec le déroulement du plan. Elle varie comme le cosinus de l'angle, donc le cosinus de l'ordonnée du plan. Donc on ne peut appliquer la formule de l'aire du triangle ou alors avec une approximation grossière, comme tu trouves.

[God's Breath]

non je connais pas.

On coupe le cercle suivant un rayon OA et on déforme, un peu comme un éventail, pour obtenir un triangle.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

non je connais pas. Mais je devine qu'il faut beaucoup beaucoup de triangles... tu peux me l'expliquer en détail?

Ce n'est sans doute pas la méthode évoquée par jippyx, mais je connais la méthode suivante :

Tu prends 2 disques de même rayon, tu coupes radialement dans chacun d'eux le long de n rayon (sans couper le cercle frontière sauf pour un d'entre eux) espacés de 360/n degrés.
Tu étires les deux circonférences pour qu'elles ressemblent à des "droites" (plus n est grand, meilleure est l'approximation, comme on s'en doutait), tu obtiens donc pour chaque disque, n "triangles" dont les bases sont alignés.
Il reste à positionner les deux disques ainsi ouverts "l'un dans l'autre" pour obtenir un "rectangle" de longueur 2piR et de hauteur R, la surface des deux disques est donc 2piR².

[Médiat]

Deux fois, c'est trop

[invite986312212]

ah oui je comprends, c'est une sorte d'approximation dont je ne vois pas bien l'intérêt. Si on essaie de faire la même chose avec une orange, i.e. couper l'intérieur en laissant des sortes de pyramides dont la base est sur la peau de l'orange, le problème c'est que quand on déplie la peau, les trous entre les pyramides sont trop grands pour être remplis par les pyramides d'une autre orange, je devine qu'il y a la place pour 3 oranges en tout (car l'aire de la sphère est 4*pi*R^2 et le volume 4/3*pi*R^3)

[God's Breath]

Le disque est divisé en triangles de même hauteur , avec des bases dont la somme des longueurs est celle de la circonférence, soit : la surface du cercle est donc .

Si on passe dans l'espace, la boule est partagée en pyramides de même hauteur , avec des bases dont la somme des aires est celle de la sphère, soit : le volume de lala boule est donc .

Si la méthode permet de calculer l'aire du disque à partir de la circonférence du cercle, et le volume de la boule à partir de l'aire de la sphère, je sache point qu'elle permette de calculer la circonférence du cercle ou l'aire de la sphère.

[invite986312212]

bah, mais si on connaît le facteur 1/3 de la pyramide, on peut aussi bien connaître celui de la sphère.

[invite93985d50]

Gods breath donne la méthode pour retrouver l'aire du cercle et le volume de la boule. Dans ces deux cas cela marche très bien.

Et donc Jean-Paul, j'ai réfléchi au fait que les triangles soit tordus mais ce n'est pas le problème non plus : par exemple dessine un grand triangle sur une feuille de papier, on peut bien tordre la feuille comme on le souhaite, on a toujours la même aire. Le fait que le coté soit courbé ca ne devrait pas jouer non plus. Parce que quand on passe à l'infinitesimal, la courbure ne devrait pas intervenir, les triangles devenant infiniment fins. Normalement ces raisonnements sont fiables, mais la non...

Sinon pas besoin de prendre deux disques pour l'aire du disque, une fois que vous avez des triangles ou des pyramides, en sachant que tout triangle ou pyramide de même base et même hauteur à la même aire, vous pouvez décaler le sommet de vos triangles en un même point à la même hauteur.

Normalement ces raisonnements géométriques permettent de retrouver rapidement les formules, et ils correspondent par derrière à des démonstrations très élégantes: qui n'utilisent pas les doubles intégrales de cosinus ou des choses du genre pour démontrer l'aire de la sphère...

[invite986312212]

si tu connais l'aire de la sphère - et dans ton raisonnement tu es obligé de la connaître - pour retrouver le volume circonscrit par ladite sphère tu n'as besoin d'intégrer que la fonction R -> R^2, et pas des fonctions trigonométriques plus ou moins compliquées.

[invite93985d50]

Justement ambrosio, le problème est pour le raisonnement permettant d'obtenir l'aire de la sphère, pas le volume de la boule.

Donc le raisonnement pour avoir l'aire de la sphère que j'ai essayé de retrouver est le suivant :
1.Je coupe la sphère en deux
2.Je subdivise le périmètre du cercle de la base en une infinité de segments.
3.Je construis des triangles "arrondis" sur chacun de ces segments dont le sommet est le "sommet" de la sphère (le pole nord )
4.Je remets les triangle tout droit, j'obtiens des triangles de bases des petits segments et de hauteur 1/2*Pi*R (un quart de cercle).
5.Je deplie la base qui est un cercle, je translate les sommets des triangles en un meme point, ca ne change pas leur aire mais ca me permet d'obtenir un seul triangle : base 2*Pi*R hauteur 1/2*Pi*R aire 1/2 * Pi^2 * R^2

L'aire de la sphère est donc double, cela donne Pi^2 * R^2

[Jeanpaul]

Si on prend un triangle vrai avec des côtés bien droits, et qu'on l'enroule, il va se mettre selon un cylindre, pas une sphère. La seule façon qu'il fasse une sphère, c'est que les côtés soient incurvés, en forme d'arc de sinusoïde en fait.

[invite93985d50]

En fait, la méthode que j'ai présentée revient à tranformer la demi sphère en cône, dont la longueur de la face est Pi*R/2.
J'essaie de trouver une explication claire et rapide pour montrer que cela ne fonctionne pas.
Quand on redresse les triangles, il faudrait "les aplatir à coups de marteau" et la effectivement ca tord les cotés. Si on prend beaucoup, il faudra en aplatir beaucoup, donc on écarte pas le problème.
Je suis pas encore satisfait, car lorsque l'on fait l'aire du cercle, ça marche, et pourtant on doit bien détordre les bases "à coups de marteau"...

En fait, en trichant un peu maintenant, connaissant l'aire de la demie sphère 2*Pi*R^2 : On devrait montrer que la sphère a la même aire qu'un cylindre de basé sur le cercle et de hauteur R. Je vois pas quelle transformation géométrique permettrait d'arriver à cela.

[invite986312212]

tu es en train de découvrir que la sphère a une courbure non nulle (positive)

[Jeanpaul]

Tu as aussi découvert que la projection de Mercator simple conserve les aires.

[invite93985d50]

Je ne vois absolument pas comment la projection de Mercator va conserver les aires... La est le problème.

Si je projette la demi sphère sur le cylindre de rayon R, je vois pas comment mon aire va être conservée. Pire, l'aire de ce cylindre pour moi est plus petite, intuitivement...

Enfin je vais me renseigner sur cette projection de Mercator avant le prochain post.