Etre ou ne pas être un sous espace vectoriel ?

[invite0813f4b5]

Hey!

j'ai un devoir maison à faire... un des exercices porte sur les sous espaces vectoriels. Vu que c'est une "chose bizarre" que je n'ai plus abordée depuis plus de deux ans (et le souvenir qu'elle m'en laisse n'est pas très bon !), je voulais savoir si ce que j'ai trouvé est la bonne réponse :

voici l'énoncé :

Dans R², on définit les opérations suivantes :
(x,y) + (x',y') = (x+x',y+y') et a(x,y) = (ax,0).
l'ensemble R² muni de ces opérations est-il un espace vectoriel ? pourquoi?

pour moi, ce n'est pas un espace vectoriel du fait de la seconde opération qui à n'importe quel y et a associe 0. normalement on devrait avoir a(x,y) = (ax, ay) non?

mais, est ce que la définition d'un sous espace vectoriel suffit à le prouver ou pas? parce que on ne me demande pas si c'est un sous espace vectoriel mais si c'est un espace vectoriel... ou bien le fait de dire "l'ensemble R² muni de ces opérations" sous entend que c'est un sous espace vectoriel ??
bref je suis un peu perdue au fin fond des maths !!!

(ai-je besoin de préciser que je ne suis pas matheuse du tout ?? )
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[invite57a1e779]

pour moi, ce n'est pas un espace vectoriel du fait de la seconde opération qui à n'importe quel y et a associe 0. normalement on devrait avoir a(x,y) = (ax, ay) non?

Non. La multiplication ainsi définie munit d'une structure d'espace vectoriel réel, mais rien ne dit que c'est la seule façon de faire.

On te propose donc une autre multiplication sur , et tu dois vérifier si elle satisfait les axiomes des espaces vectoriels.

[invite0813f4b5]

ce qui vet dire que je dois faire :

a(x,y) = (ax,0) et
a(x',y') = (ax',0) ??

non, c'est pas possible que ce soit aussi simple...

[Arkangelsk]

Salut,

ce qui vet dire que je dois faire :

a(x,y) = (ax,0) et
a(x',y') = (ax',0) ??

non, c'est pas possible que ce soit aussi simple...

Quels sont les axiomes des espaces vectoriels ? Est-ce que tu sais ce que tu dois vérifier ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite0813f4b5]

Non pas du tout... moi je suis completement perdue...
c est le bide total...
moi je suis chimiste et les espaces vectoriels c'est pire qu'une bombe nucléaire pour moi ....

[Arkangelsk]

Alors, pour les définition et propriétés des espaces et sous-espaces vectoriels, tu peux consulter : http://fr.wikipedia.org/wiki/Espace_vectoriel.

Il te restera à vérifier les critères donnés pour ton exemple.

[invite0813f4b5]

ok merci... je vais voir ca...

[invite0813f4b5]

Alors, pour les définition et propriétés des espaces et sous-espaces vectoriels, tu peux consulter : http://fr.wikipedia.org/wiki/Espace_vectoriel.

Il te restera à vérifier les critères donnés pour ton exemple.

désolée je ne comprend pas comment il faut faire...
ça reste mega flou pour moi...

s'il faut vérifier que u+v E R₂ et que au E R₂ ... franchement je ne sais pas... je vois pas du tout
c est du chinois...

[Arkangelsk]

Bon, je vais t'aiguiller (sans faire mal ) :

la loi « • » est distributive à gauche par rapport à l'addition + de E :

(2)

Est-ce que ce "critère" est vrai, (il y a un petit calcul à faire) ?

Tu peux reprendre la définition de wikipedia et utiliser les 2 propriétés de ton énoncé : et

Je te laisse écrire le calcul.

[invite0813f4b5]

ça ferait avec u=(x,y) et v=(x',y')

a (u+v) = au + av ?

au + av = (ax,0) + (ax',0)

mais u+v = (x+x', y+y') et a(x+x',y+y')=(a(x+x'),a(y+y')) ...

c'est pas la meme chose non?

[Arkangelsk]

a(x+x',y+y')=(a(x+x'),a(y+y')) ...

Non. Utilise la deuxième propriété.

[invite0813f4b5]

a(x+x',y+y')=(a(x+x'),0)

et c'est la meme chose que (ax,0)+(ax',0) ?? on peut le factoriser comme ca?

[Arkangelsk]

et c'est la meme chose que (ax,0)+(ax',0) ?? on peut le factoriser comme ca?

Non, on ne "factorise" pas. On utilise la première propriété cette fois ! C'est tout simple.

[invite0813f4b5]

On utilise la première propriété cette fois !

c'est ça?

(ax,0)+(ax',0) = (ax+ax',0) = (a(x+x'),0)


si c'est ça j'ai a peu près compris toutes les étapes mais je ne vois pas ce que j'ai prouvé...

[Arkangelsk]

c'est ça?

(ax,0)+(ax',0) = (ax+ax',0) = (a(x+x'),0)

C'est OK.

si c'est ça j'ai a peu près compris toutes les étapes mais je ne vois pas ce que j'ai prouvé...

Eh bien, tu as prouvé que le deuxième critère des EV (de wikipedia) est vérifié, non ?

[invite0813f4b5]

ouais je crois que j ai compris...

il faut que je les prouve tous ??

[Arkangelsk]

ouais je crois que j ai compris...

il faut que je les prouve tous ??

A ton avis ? Ne fais pas cette tête là ()!

Si tu veux montrer que c'est un EV, alors, oui, tu vérifier tous les critères.

Si ce n'est pas un EV, alors il te suffit de montrer qu'un critère est faux.

Là, je vais devoir y aller... Tu as vérifié le 2ème critère (de wiki).

Alors, je te conseille de vérifier les 3 et 4 de la même façon, puis le 1. Ne triche pas, hein ?

Tu nous écriras tes conclusions...

Bon courage !

[invite0813f4b5]

ok
merci
je vais faire ça cet aprem...

merci pr ton aide

[invite0813f4b5]

Bon... en fait je viens de capter que c'est simple... Je comprends vite mais il faut expliquer longtemps... (ou alors je pense que j'ai compris mais ce n'est pas le cas... ).

donc j'ai u=(x,y) et v=(x',y') et a,b E R.

pour la troisième propriété, il faut démontrer que :
(a+b)u = au + bu.

(a+b)u = (a+b)(x,y)= [(a+b)x,0]= (ax+bx,0)

et au=a(x,y)=(ax,0) et bu=b(x,y)=(bx,0)

donc au+bu = (ax+bx,0). elle est donc vérifiée !

pour la quatrième propriété, il faut démontrer que :
(ab)u=a(bu).

(ab)u= ab(x,y) = (abx,0)

et bu=b(x,y)=(bx,0) et a(bu)=a[(bx,0)]= (abx,0). elle est donc vérifiée..

pour la première par contre je ne suis pas trop sûre que c'est bon...

il faut démontrer que 1u=u

mais 1u = 1(x,y) = (1x,0) = (x,0) ce qui n'est pas égal à u=(x,y).

cela voudrait donc dire que ce n'est pas un espace vectoriel ??

[Arkangelsk]

Pour la troisième propriété, il faut démontrer que :
(a+b)u = au + bu.

(a+b)u = (a+b)(x,y)= [(a+b)x,0]= (ax+bx,0)

et au=a(x,y)=(ax,0) et bu=b(x,y)=(bx,0)

donc au+bu = (ax+bx,0). elle est donc vérifiée !

pour la quatrième propriété, il faut démontrer que :
(ab)u=a(bu).

(ab)u= ab(x,y) = (abx,0)

et bu=b(x,y)=(bx,0) et a(bu)=a[(bx,0)]= (abx,0). elle est donc vérifiée..

Alors là, je suis épaté ! Ca me semble tout à fait correct.

il faut démontrer que 1u=u

mais 1u = 1(x,y) = (1x,0) = (x,0) ce qui n'est pas égal à u=(x,y).

cela voudrait donc dire que ce n'est pas un espace vectoriel ??

Je suis d'accord pour la conclusion . Pour la justification, c'est à peu près ça.

En fait, 1 (le nombre) n'est pas forcément un élément neutre pour tout type de multiplication.

Ce que je ferais :

1. Démontrer que l'élément neutre est forcément le nombre 1
2. Démontrer que si 1 est élément neutre, alors par exemple 1.(5,3) est différent de (5,3). Donc, contradiction.

C'est comme ça que je rédigerais. Dans ce genre d'exo, il est bien de donner un (conte-)exemple.

[invite0813f4b5]

euh... "élément neutre" What's that ?

[Arkangelsk]

euh... "élément neutre" What's that ?

Ben, juste le premier critère de wiki : http://fr.wikipedia.org/wiki/Espace_vectoriel

Tu l'as bien lu, pourtant !

[invite0813f4b5]

mais comment je démontre que l'élément neutre c'est forcément 1 ? en plus c'est pas vrai puisque la ca ne marche pas...

c'est pas très logique ...

[Arkangelsk]

Soit a l'élément neutre,

alors pour tout couple (x,y),

a.(x,y)=(x,y), ce qui implique (ax,0)=(x,y), ce qui implique ...

[invite0813f4b5]

ok je capte...

merci merci merci !!



j aurai au moins compris un de mes exo de mon DM...
plus que trois !!! (tout aussi casse tête !)