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Petite question sur les intégrales de Lebesgue

  1. #1
    Catie_08

    Petite question sur les intégrales de Lebesgue

    Voilà je suis en train d'étudier les intégrales de Lebesgue et je me pose quelques questions.

    Est-ce qu'on peut dire que si l'intégrale de Riemann d'une fonction f est absolument convergente alors f est sommable au sens de Lebesgue ?
    Car si elle est sommable, l'intégrale de la valeur absolue de la fonction est finie donc absolument convergente, non ?

    Et si l'intégrale généralisée au sens de Riemann existe, f est aussi sommable au sens de Lebesgue ?

    -----


  2. #2
    Aleph-0

    Re : Petite question sur les intégrales de Lebesgue

    - si f est Riemann integrable (sur un intervalle [a,b]) alors elle est Lebesgue integrable (dans L^1 ([a,b]) avec la mesure de Lebesgue (completion de la mesure de Borel)

    - Pour les integrales de Riemann generalisées on a le resultat suivant
    Si f est Riemann integrable (au sens generalisé) sur I (invervalle de R) et |f| est Riemann integrable, alors f est Lebesgue integrable (dans L^1(I) ) et les integrales (Riemann et Lebesgue) de f sur I coincident.

    - Il existe des fonctions qui sont Riemann integrable (sens généralisé) sans être Lebesgue integrable. Par exemple : f(x) = sin(x)/x sur R^+ .

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