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Petite question sur les intégrales de Lebesgue

  1. Catie_08

    Date d'inscription
    septembre 2008
    Messages
    18

    Petite question sur les intégrales de Lebesgue

    Voilà je suis en train d'étudier les intégrales de Lebesgue et je me pose quelques questions.

    Est-ce qu'on peut dire que si l'intégrale de Riemann d'une fonction f est absolument convergente alors f est sommable au sens de Lebesgue ?
    Car si elle est sommable, l'intégrale de la valeur absolue de la fonction est finie donc absolument convergente, non ?

    Et si l'intégrale généralisée au sens de Riemann existe, f est aussi sommable au sens de Lebesgue ?


     


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  2. Aleph-0

    Date d'inscription
    août 2004
    Messages
    46

    Re : Petite question sur les intégrales de Lebesgue

    - si f est Riemann integrable (sur un intervalle [a,b]) alors elle est Lebesgue integrable (dans L^1 ([a,b]) avec la mesure de Lebesgue (completion de la mesure de Borel)

    - Pour les integrales de Riemann generalisées on a le resultat suivant
    Si f est Riemann integrable (au sens generalisé) sur I (invervalle de R) et |f| est Riemann integrable, alors f est Lebesgue integrable (dans L^1(I) ) et les integrales (Riemann et Lebesgue) de f sur I coincident.

    - Il existe des fonctions qui sont Riemann integrable (sens généralisé) sans être Lebesgue integrable. Par exemple : f(x) = sin(x)/x sur R^+ .
     


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