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Montrer qu'un polynôme n'a que des racines simples

  1. izguit

    Date d'inscription
    mars 2008
    Messages
    19

    Montrer qu'un polynôme n'a que des racines simples

    Bonjour à tous,
    Je n'arrive pas à montrer que n'admet que des racines simples. Je vois bien qu'il faut montrer que P(a)=P'(a)=0 est impossible à résoudre mais ca ne marche pas. J'ai aussi calculé P-P', afin d'essayer de montrer que cette différence ne puisse pas être nulle, mais idem, pas réussi.
    Des idées?
    merci

    -----

     


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  2. Coincoin

    Date d'inscription
    octobre 2003
    Localisation
    Paris
    Âge
    32
    Messages
    16 547

    Re : Montrer qu'un polynôme n'a que des racines simples

    Salut,
    Je pense que tu es sur la bonne voie.
    P'(a)=0 revient à dire . Donc si P(a)=0, on obtient . D'où a=a+1...
    Je te laisse faire ça proprement et traiter les cas particuliers qui peuvent gêner.
    Encore une victoire de Canard !
     

  3. invité576543
    Invité

    Re : Montrer qu'un polynôme n'a que des racines simples

    Citation Envoyé par izguit Voir le message
    J'ai aussi calculé P-P', afin d'essayer de montrer que cette différence ne puisse pas être nulle, mais idem, pas réussi.
    P-P' était une bonne idée... Mais il n'y a pas que P-P' comme combinaison de P et P'. Si P et P' ont une racine en commun, alors elle est racine de toute combinaison Q(X)P+R(X)P'... Suffit d'en trouver une qui va bien!

    Cordialement,
     

  4. Coincoin

    Date d'inscription
    octobre 2003
    Localisation
    Paris
    Âge
    32
    Messages
    16 547

    Re : Montrer qu'un polynôme n'a que des racines simples

    Oui, ce qui te bloque c'est effectivement que tu as perdu l'info que P(a)=0. Certes P(a)=P'(a) mais ça ne suffit pas.
    Encore une victoire de Canard !
     

  5. izguit

    Date d'inscription
    mars 2008
    Messages
    19

    Re : Montrer qu'un polynôme n'a que des racines simples

    okey merci beaucoup
    Je dois aussi trouver les racines (simples, du coup) de ce polynôme, et re bloqué.
    J'étais parti sur le binôme de Newton :




    Mais ca ne m'amène qu'ici
     


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  6. Thorin

    Date d'inscription
    mars 2006
    Âge
    28
    Messages
    2 613

    Re : Montrer qu'un polynôme n'a que des racines simples



    Puis racines de l'unité.
    École d'ingénieurs + M1 Physique Fondamentale
     

  7. Thorin

    Date d'inscription
    mars 2006
    Âge
    28
    Messages
    2 613

    Re : Montrer qu'un polynôme n'a que des racines simples



    Puis racines de l'unité.
    École d'ingénieurs + M1 Physique Fondamentale
     

  8. izguit

    Date d'inscription
    mars 2008
    Messages
    19

    Re : Montrer qu'un polynôme n'a que des racines simples

    Merci,
    je trouve que les racines sont de la forme
    Ca m'a l'air d'être bon
    Bonne journée!
     

  9. Thorin

    Date d'inscription
    mars 2006
    Âge
    28
    Messages
    2 613

    Re : Montrer qu'un polynôme n'a que des racines simples

    Fais attention de bien exclure le cas k=0 dans la réciproque
    École d'ingénieurs + M1 Physique Fondamentale
     


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