Dépendance des racines d'un polynôme

[invite6b1e2c2e]

Re-bonjour à tous,

Tant que j'y suis, une autre question mignonne d'algèbre :
Je considère un polynôme dont les coefficients sont des fonctions d'un paramètre. Ainsi a_j = a_j(z), et chacune de ses fonctions est de régularité C^k (ou analytique), et on suppose que le coefficient dominannt ne s'annulle pas (tant qu'à faire on peut même le supposé constant égal à 1).
Alors quelle est la régularité des fonctions qui à z associe les zéros du polynôme ? Ou, à tout le moins, existe-t-il des conditions simples (je pense notamment à des conditions du type "tous les zéros sont simples") garantissant une certaine régularité ?
Je sais qu'analytiques+zéros simples => analytique.
Mais si les zéros sont multiples ? Ou si les fonctions coefficients sont juste C^k ?

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rvz
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[matthias]

Je pense que ça doit bien se traiter avec les fonctions implicites dans le cas de zéros simples.

[invite6b1e2c2e]

Tu veux dire que des fonctions coefficients C^k donnent de zéros de classe C^k aussi ? Je suis d'accord, mais peut-on retirer l'hypothèse sur les zéros simples ?

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rvz

[matthias]

Avec des zéros multiples ça risque de devenir compliqué étant donné qu'ils peuvent carrément disparaître à la moinde variation de ton paramètre (en tout cas dans R).
Dans C il y a des chances que ça se passe mieux.

[A voir en vidéo sur Futura]