Réduction de 2 matrices

[invite6b1e2c2e]

Bonjour à tous,

J'aimerais avoir votre avis sur une question précise d'algèbre linéaire, dont je ne me souviens plus trop de la réponse.
En fait, je dois calculer les valeurs propres d'une matrice M = a A+ b B, avec A autoadjointe définie positive, B antisymétrique, et pour a et b variables.
En gros, si je veux faire ça, il me semble que ce serait vachement plus sympa si j'avais 2 matrices diagonalisables dans une même base
Du coup, je me suis dit, ok, je pose C = iB. Alors C devient autoadjointe. Et je crois me souvenir qu'il existe un théorème de réduction simultanée qui dit que dans ce cas, il existe P dans GL_n(C) tel que
A= t(P)P
B= t(P) D P, avec D matrice diagonale.
C'est vrai ce truc ?
Si c'est vrai, comment fait-on pour calculer simplement la matrice P qui va bien ?

Merci pour vos réponses.
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rvz
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[invite8b04eba7]

Salut !

Oui c'est vrai, à condition que tu prennes bien la transposée conjuguée de P. En gros, ça revient à diagonaliser l'endomorphisme normal représenté par B dans la base orthonormale pour le produit scalaire hermitien représenté par A.

Après, pour un calcul effectif... peut-être que c'est fait dans le bouquin de Denis Serre, les matrices.

[invite6b1e2c2e]

Merci Doudache ! Vive les agrégatifs
Et l'interprétation que tu en donnes est exactement ce que j'avais en tête. J'avais juste envie d'avoir une confirmation avant de me lancer dans un calcul long et fastidieux...
Cela dit, la partie calcul effectif m'intéresse aussi furieusement, et si quelqu'un a une aide à proposer, elle sera plus que bienvenue.

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rvz, qui n'a malheureusement pas la puissance de calcul d'un super ordinateur