Matrices, réduction [MP]

[Gwyddon]

Salut à tous,

Je vous soumet une question qu'une de mes amies m'a posée, et à laquelle je n'ai pas de réponse simple.

Soit M une matrice de .

On suppose avec A admettant trois valeurs propres distinctes.

Montrer que A est diagonalisable.

Je me souviens qu'il y a une méthode où l'on se place dans et où l'on décompose en partie réelle-partie imaginaire, mais je ne me souviens plus de sa mise en oeuvre.

Pourriez-vous m'aider ?

Merci d'avance

Julien
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[Quinto]

Salut,
c'est quoi n? un réel supérieur à 3 quelconque?
Les valeurs propres sont exactement au nombre de 3?

[invite56acd1ad]

Tu es sûr de l'énoncé ?
C'est assez facile de montrer que M est diagonalisable si A possède n valeurs propres distinctes (2 à 2). Mais là je vois pas trop comment on pourrait raisonner. De plus, il me semble que la question serait plutot de montrer que M est diagonalisable, non ?

[Gwyddon]

Salut,

Enfin accès à internet ! Je vais pouvoir répondre.

D'abord je m'excuse Quinto, ce n'est pas mais .

Ensuite c'est effectivement M diagonalisable qu'il faut démonter.

Enfin, je ne suis pas du tout sûr de l'énoncé (désolé).. Si les trois valeurs propres de A sont positives, c'est gagné. S'il en existe une négative, je me place dans . Je peux diagonaliser. Comment revenir dans ? Est-ce vraiment possible ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite56acd1ad]

On peut se placer ds . Si on suppose que A a n valeurs propres distinctes, alors il existe telle que :



On pose alors . D'où : .

Il reste alors à montrer que C est diagonale. Comme , D et C commutent. Or D est diagonale. Donc C aussi :
et le fait que les valeurs propres soient distinctes permet de conclure.

Je pense que ca répond (à peu près) à la question.

Qu'en penses-tu Julien ?

[Gwyddon]

Yes !

Super, bien sympa. Et tant pis pour l'autre méthode que je suggérais au début, et que je n'arrive pas à retrouver (de toute façon, elle est sûrement trop compliquée, alors que la tienne est simple)

[invite56acd1ad]

Dans ta méthode, il me semble qu'il faudrait utiliser le fait que deux matrices semblables dans C le sont aussi dans R... Mais je vois pas trop exactement comment l'utiliser après...