montrons que l'union de 2 ss esp vect ne contient pas tt les elements de l'espace vectoriel...

[vince3001]

Bonjour,
Voilà le pb que je dois resoudre:
"Soit G et H 2 ss esp vect de F
On suppose G et H différents de F
Montrez qu'il existe un vecteur de F n'appartenant ni à G ni à H"

Voilà ma démonstration partielle,qui si elle est correcte n'attend que vous pour etre completée!

On distingue 2 cas :
1er cas : H et G sont supplémentaires

Si H et G sont supplémentaires,alors dimF=dimG+dimH et dim(G inter H)=0 (déjà démontré).
=> si (g1,g2,...,gp) base de G
(h1,h2,...hq)base de H
alors (g1,g2,...,gp,h1,h2,...hq) base de F
dc tout élément v de F est combinaison linéaire de (g1,g2,...,gp,h1,h2,...hq)
=>il existe v n'appartenant ni à G,ni à H

2eme cas : H et G ne sont pas supplémentaires

Si H et G ne sont pas supplémentaires,alors dim F> ou = dimG +dimH-dim(G inter H)
Car d'une part dim(G+H)=dimG+ dimH-dim(G inter H)
et d'autre part G et H ss esp vect de F
On distingue donc encore 2 cas :
a/dim F= dimG +dimH-dim(G inter H)

Si dim F= dimG +dimH-dim(G inter H), alors dim(G inter H) différent de 0 car G et H non supplémentaires
=> dim F > dimG+dimH
=> il existe v n'appartenant ni à G,ni à H

b/dim F> dimG +dimH-dim(G inter H)
C'est là que j'ai besoin d'aide...

Merci de votre collaboration!

[martini_bird]

Salut,

je n'ai pas lu toute ta prose, mais il me semble qu'il suffit de prendre la somme g+h de deux vecteurs de G et de H...

Cordialement.

[Thorin]

Tout d'abord, il me semble que tu ne peux pas dire que si
a=b-c, alors a>b...c'est même le contraire avec des nombres positifs.
(cf la partie a) de ton cas 2))


Ensuite, il me semblerait plus fructueux d'envisager la somme d'un vecteur de G n'appartenant pas à H et d'un vecteur de H n'appartenant pas à G (et les sous-cas inhérents à cette idée).


Thorin.

Edit : grillé XD

[sebsheep]

peut on dire que si avec u et v libre, alors ?

Ca me semble "logique", mais je n'arrive pas à le montrer ...

ps : je viens de me rendre compte que implique u et v libres (pour peu qu'on prenne u et v différents de 0)

[Thorin]

supposons que u+v appartienne à E.
Alors, par stabilité, u+v-v appartient à E
donc u appartient à E
Contradictoire.

[vince3001]

Bon je crois avoir trouvé meilleure démonstration :
4 cas possibles:

1er cas: G non inclu ds H, H non inclu ds G
Dans ce cas on prend comme vous l'avez proposé un vecteur v=g+h où v appartient à F,g à G,h à H,mais g n'appartient pas à H et h n'appartient pas à G
Il est évident que v n'appartient ni à G,ni à H (enfin je crois...)

2eme cas : G=H
Dans ce cas, DimG<DimF (car G inclu ds F et G différent de F) et donc il existe v appartenant à F n'appartenant pas à G et donc pas à H

3eme cas : H inclu ds G et H différent de G
=>dimH<dimG<dimF=>il existe v n'appartenant pas à G, n'appartenant pas à H et appartenant à F

4eme cas : G inclu ds H et Gdifférent de H
=>dimG<dimH<dimF=>il existe v n'appartenant pas à G, n'appartenant pas à H et appartenant à F

Cela vous semble-t-il correct?

[sebsheep]

Tu n'as que 2 cas possibles :
soit G=H, dans ce cas, c'est trivial, tu y as répondu,
soit et dans ce cas, , et aussi : . Et là ma question précédente devrait te permettre de conclure.

Ton raisonnement semble bon, mais on peut faire plus court, pouquoi s'en priver? (ca évite les erreurs et c'est plus simple à comprendre)

(au passage, merci à Thorin)

[vince3001]

Ben je suis pas trop d'accord pour dire qu'il existe u et v tq tu les décris car si G est ds H alors v n'existe pas...pareil pour u si H est dans G. c'est pour ça que j'ai distingué 2 cas supplémentaires.
Et à vrai dire si ce que j'ai fait (grace à vous et je vous en remercie) est juste,faire plus court rendra plus facile la tâche au prof ms pas à moi qui vait devoir encore passer du tps sur cette question alors que j'en ai encore 1 tonnes à traiter...

[sebsheep]

autant pour moi ...