Un DL à l'ordre 7

[inviteb9ec20b2]

Bonsoir tout le monde !
J'aimerais déterminer le DL à l'ordre 7 au voisinage de 0 de la fonction x->√ tan(x²)

Pour ma part, j'ai fait :
Je connais le DL de tanx au voisinage de 0.
tan x = x + x^3/3 +2 x^5/15 + 17 x^7/315
donc tan x² = x^3 + x^5/3 + 2 x^7/15 + 17 x^9/315

ensuite je prends la racine du DL de tan x².
Vrai ?
Merci à ceux qui me réponderont
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[God's Breath]

Chez moi,

fournit ,

donc ,

et il me semble que tu as trop poussé ton développement dès le départ.

[inviteb9ec20b2]

ah oui!
quelle erreur je fais en remplaçant x par x²

et donc si je veux le DL à l'ordre 3 au voisinage de 0 de f(x)= ln [ (exp(x)-1) /x ]

Je fais :
exp(x) = 1 + x + x²/2! + x^3/3! + x^4/4!
donc exp(x) - 1 = x + x²/2! + x^3/3! + x^4/4!
donc (exp(x)-1) /x = 1 + x/2! +x²/3! + x^3/4!
donc ln [ (exp(x)-1) /x ] = ln [ 1 + x/2! +x²/3! + x^3/4! ]

et donc f(x) = x/2! - x²/ 12 + x^3/4!
Vrai ? (j'espère que oui cette fois )
(et sauf indiscrétion, il faut que je montre que f se prolonge en une bijection de R sur lui-même. Qu'est-ce que ça veut dire ?)

Merci à ceux qui me réponderont

[sebsheep]

Salut!

Humm les DL d'ordre hallucinants ... que de "bons" souvenirs ...

Pour ta question : une bijection est une application (disons de E dans F) qui à TOUT élément de F est associé un UNIQUE élément E. (fais un dessin avec des patates pour reprenseter tes ensembles et des traits entre les éléments pour représenter les association).

Ici E=F=IR.
Tu as la proprité suivante : si f : IR->IR est continue et strictement croissante sur IR, avec alors c'est une bijection.
(proprité méga adapté à ton cas, l'énnoncé est bien plus général ; wikipédia t'informera beaucoup mieux que moi).

Donc voilà si tu veux montrer que c'est une bijection, il faut que tu vérifie toutes les conditions de la propriété

Bon courage !

Edit : pour le DL, je suis un peu rouillé ... je laisse des gens plus frais que moi vérifier les calculs. Une façon de vérifier est de prendre ta caltos et de tracer la différence des 2 fonctions, elle devrait etre presque 0 autour de 0

[A voir en vidéo sur Futura]

[God's Breath]

Je suis d'accord (encore faudrait-il que tu écrives le reste de tes développements limités pour que ce soit juste...) jusqu'à : .

Mais ensuite il faut utiliser le développement limité du logarithme au voisinage de 1 :

.

Ensuite tu dois démontrer que se prolonge en une fonction définie sur et que la fonction obtenue par prolongement est une bijection de dans lui-même.