Q est dense dans R

[a91]

Bonjour tout le monde!
Tout est dans le titre
Cependant j'aimerais quelques pistes pour pouvoir le démontrer !Pour l'instant je rame complètement...-_- une petite lumière serait la bienvenue !
Merci d'avance !

[ericcc]

Par exemple entre deux réels il y a au moins un rationnel ?

Et ici post 11 Les classiques parmi les classiques

[un_homme]

Bonjour,

Tu peux aussi te servir des nombres décimaux de la forme a*10^n avec a dans N et n dans Z.

[a91]

Merci pour vos réponses ! J'ai terminé ^^!

Cependant j'ai encore une question, visiblement j'ai un problème avec ces histoires de densités ...

soit x=k/2ⁿ
x est appelé nombre dyadique (k€z)(n€N)
x est un nombre décimal et pour tout entier naturel non nul on a l'inégalité (1/2ⁿ)<1/n

Montrer alors que l'ensemble des nombres dyadiques est dense dans R...

Ce que j'ai essayé:

On pose A={k/2ⁿ,k€Z,n€N}
-l'ensemble des nombres dyadiques est inclus dans R car ce sont des nombres décimaux
-Montrons qu'entre deux réels distincts, on a un nombre dyadique

Soit (x,y)€R² x<y
montrons que il existe k€Z et n€N tel que x<k/2ⁿ<y

Après ca,... je vois pas comment faire pour y arriver...Une piste peut-etre ?
Merci !

[g_h]

Une démonstration classique est que tu peux approcher n'importe quel réel x par une suite de rationnels :

Soit x dans R, et soit la suite u_n définie par :

(ou E est la partie entière)

c'est une suite de rationnels qui converge vers x (à montrer!)

EDIT : j'avais pas vu que tu avais eu ta réponse... j'aurais du lire en détail =) désolé

[g_h]

En fait c'est pas perdu, reprends là démonstration avec :


et ça devrait marcher, non ?

[a91]

En fait c'est pas perdu, reprends là démonstration avec :


et ça devrait marcher, non ?

Pour l'ensemble des nombres dyadiques ou pour les rationnels ?

[Ising]

Pour les nombres dyadiques, c'est facile. Tu veux montrer que .

Soit et donnés. Tu sais que, pour tout n, il existe un k tel que:

Maintenant:

Il suffit maintenant de s'assurer que n est suffisament grand, pour que .

[g_h]

Pour l'ensemble des nombres dyadiques ou pour les rationnels ?

Pour les 2

[thepasboss]

On peut aussi dire que l'ensemble des nombres dyadiques est un sous groupe additif de R qui n'est pas de la forme a*Z et est donc dense dans R non ?

[ericcc]

oui.........

[ichigo01]

Une démonstration classique est que tu peux approcher n'importe quel réel x par une suite de rationnels :

Soit x dans R, et soit la suite u_n définie par :

(ou E est la partie entière)

c'est une suite de rationnels qui converge vers x (à montrer!)

Bonjour ,

est une suite qui tend vers x ( je le comprend grâce à des exemples comme le nombre ) , mais est ce que quelqu'un connait la démonstration qui prouve que cette propriété soit vrais pour tout x c'est à dire la généraliser !
Merci !

[God's Breath]

Bonsoir,

est une suite qui tend vers x

Par définition de la partie entière : (la deuxième inégalité est stricte, mais cela ne sert pas ici...) c'est-à-dire , dont on déduit , ou encore .
Cet encadrement prouve que la suite converge vers .

[ichigo01]

Merci beaucoup !
Autre chose (pour l'occasion) : comment prouver que et que cette suite est croissante ( peut on le prouver par recurrence ? ) .
Et on peut en deduire que Q est dense dans R !

[God's Breath]

Tout d'abord est rationnel car défini comme quotient de deux entiers...

Ensuite, on a donc et, puisque est entier : , c'est-à-dire .