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Les classiques parmi les classiques

  1. #1
    martini_bird

    Les classiques parmi les classiques

    Ce fil, dont la paternité revient à IceDL, a pour vocation de proposer des solutions aux questions fréquemment posées dans cette rubrique. Certains exercices reviennent en effet régulièrement, et ils font partie de ceux que tout étudiant en mathématiques doit savoir résoudre : ce sont les "classiques".

    Mise à jour du 18/07/07 : J'ai édité les anciens messages afin de généraliser l'usage des balises spoiler.

    Vous pouvez apporter des compléments ou des commentaires, mais pour conserver une certaine lisibilité, posez vos questions dans un nouveau fil.


    Sommaire
    • #2 : Une fonction croissante de [0, 1] dans lui-même admet un point fixe.
    • #3 : [Algèbre linéaire] Deux matrices réelles C-semblables sont R-semblables
    • #4 : Polynômes complexes d'image réelle
    • #5 : Groupes abéliens de cardinal pq
    • #6 : Majoration de l'indice de nilpotence
    • #7 : Idéaux bilatères de
    • #8 : Idempotent dans un ensemble fini
    • #9 : Cas particuliers du théorème de la progression arithmétique de Dirichlet
    • #10 : ouvert dense de
    • #11 : Sous-groupes du groupe additif des réels
    • #12 : Théorème de Gauss-Lucas sur les polynômes
    • #13 : [Algèbre linéaire]
    • #14 : [Arithmétique] Formule de Legendre
    • #15 : [Analyse] Lemme de Gronwall
    • #16 : [Analyse] Si pour toute g dérivable alors f=0.
      Complément : #18.
    • #17 : Si alors
    • #19 : Fonctions réelles additives et continues
    • # 20 : [Algèbre] Matrices de passage et base duale.
    • # 21 : [Algèbre] : Calcul du déterminant det(pgcd(i, j))
    • # 22 : Mesure d'un angle avec une règle
    • # 23 : [Algèbre] Lemme de Cauchy
    • # 24 : [Géométrie] Théorème de Carathéodory
    • # 25 : [Géométrie] Théorème de Radon
    • # 26 : [Géométrie] Théorème de Helly
    • # 27 : [Analyse] Les applications polynômiales complexes sont ouvertes et fermées.
      Complément : #28.
    • # 29 : [Algèbre linéaire] Matrice antisymétrique non inversible
    • # 30 : [Analyse] Moyenne de Cesàro
    • # 31 : [Théorie des nombres] Irrationnalité de Pi
    • # 32 : [Topologie] Théorème de Brouwer en dimension 2
    • # 33 : [Logique] Une petite introduction à la théorie des modèles
    • # 37 : [Algèbre] Théorème de Frobenius à propos des sur-corps de R de dimension finie
    • # 40 : [Algèbre] 2 propriétés en dimension 2 : Critère pour que A,B non homothéties soient semblables + Commutant d'une non homothétie

    Note : ce fil n'engendre aucune contradiction avec la politique de ce forum concernant les demandes d'aide aux exercices.

    -----

    Dernière modification par homotopie ; 09/04/2008 à 23h09. Motif: Mise à jour.

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  3. #2
    nassoufa_02

    Re : Les classiques parmi les classiques

    Salut tout le monde ,
    allez je commence vu que c'est mon éxercice qui a permis a Icedl de faire le remarque (qui est très bonne d'ailleurs)

    Soit une fonction croissante montrer qu'il existe [0,1] tel que

     Cliquez pour afficher


    A+
    Dernière modification par martini_bird ; 17/07/2007 à 14h01. Motif: Ajout des balises spoiler

  4. #3
    IceDL

    [Algèbre linéaire] Deux matrices réelles C-semblables sont R-semblables

    Soit et deux matrices carrées réelles semblables dans :
    Il existe telle que .

    Alors, et sont semblables dans :
    Il existe telle que .

     Cliquez pour afficher
    Dernière modification par martini_bird ; 17/07/2007 à 14h02. Motif: Ajout des balises spoiler

  5. #4
    indian58

    Re : Les classiques parmi les classiques

    Polynômes complexes d'image réelle

    Quels sont les polynômes complexes P à valeurs réelles?

     Cliquez pour afficher
    Dernière modification par martini_bird ; 17/07/2007 à 14h01. Motif: Ajout des balises spoiler

  6. #5
    indian58

    Re : Les classiques parmi les classiques

    Groupes abéliens de cardinal pq

    Soit G un groupe d'ordre pq, où p et q sont deux nombres premiers distincts. Montrer que G est cyclique.

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    Dernière modification par martini_bird ; 17/07/2007 à 14h03. Motif: [spoiler]

  7. #6
    indian58

    Re : Les classiques parmi les classiques

    Majoration de l'indice de nilpotence

    Soit E un K-ev de dimension finie n et nilpotent. Montrer que un=0.

     Cliquez pour afficher
    Dernière modification par martini_bird ; 17/07/2007 à 14h03. Motif: [spoiler]

  8. #7
    indian58

    Re : Les classiques parmi les classiques

    Idéaux bilatères de

    Soit E un K-ev de dimension finie n. Montrer que les seuls idéaux bilatères de E sont {0} et E. Cela reste-t-il vrai en dimension infinie?

     Cliquez pour afficher
    Dernière modification par martini_bird ; 17/07/2007 à 14h03. Motif: [spoiler]

  9. #8
    indian58

    Re : Les classiques parmi les classiques

    Idempotent dans un ensemble fini

    Soit E un ensemble fini muni d'une loi de composition interne associative. Montrer qu'il existe s E tel que s²=s.

     Cliquez pour afficher
    Dernière modification par martini_bird ; 17/07/2007 à 14h04. Motif: [spoiler]

  10. #9
    indian58

    Re : Les classiques parmi les classiques

    Cas particuliers du théorème de la progression arithmétique de Dirichlet

    1) montrer qu'il existe une infinité de nombres premiers.
    2) montrer qu'il existe une infinité de nombres premiers congrus à 3 modulo 4.
    3) montrer qu'il existe une infinité de nombres premiers congrus à 1 modulo 4.

     Cliquez pour afficher
    Dernière modification par martini_bird ; 17/07/2007 à 14h06. Motif: [spoiler]

  11. #10
    IceDL

    [Algèbre linéaire] Gln(R) est un ouvert dense.

    [Algèbre linéaire] Gln(R) est un ouvert dense.

    Soit n un entier naturel, on peut associer à sa topologie naturelle d'espace vectoriel normé de dimension finie.

    Alors est un ouvert dense de .

     Cliquez pour afficher
    Dernière modification par martini_bird ; 17/07/2007 à 14h07. Motif: [spoiler]

  12. #11
    IceDL

    [Analyse] Sous-groupes de R

    [Analyse] Sous-groupes de R

    étant le groupe additif des nombres réels , soit un sous-groupe additif de

    Alors deux cas (disjoints) et deux seulement sont possibles :

    - est discret, de la forme avec
    - est dense dans

     Cliquez pour afficher
    Dernière modification par martini_bird ; 17/07/2007 à 14h07. Motif: [spoiler]

  13. #12
    Gwyddon

    Re : [Analyse] Sous-groupes de R

    [Algèbre] Théorème de Gauss-Lucas sur les polynômes

    Soit P un polynôme de . Alors les racines de P' le polynôme dérivé de P sont contenues dans l'enveloppe convexe des racines de P.

     Cliquez pour afficher
    Dernière modification par martini_bird ; 17/07/2007 à 14h08. Motif: [spoiler]
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  14. #13
    indian58

    Re : Les classiques parmi les classiques

    [Algèbre linéaire]

    Soit A et B deux matrices de . Montrer que .

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    Dernière modification par martini_bird ; 17/07/2007 à 14h08. Motif: [spoiler]

  15. #14
    indian58

    Re : Les classiques parmi les classiques

    [Arithmétique]Formule de Legendre

    Soit n et p un nombre premier. Montrer que la valuation p-adique de n! est
    .

     Cliquez pour afficher
    Dernière modification par martini_bird ; 17/07/2007 à 14h08. Motif: [spoiler]

  16. #15
    indian58

    Re : Les classiques parmi les classiques

    [Analyse]Lemme de Gronwall

    Soit f et g deux fonctions continues sur un segment [a,b], à valeurs positives et c une constante positive, vérifiant pour tout :
    (1)
    Alors, monter que pour tout x de [a,b], .

     Cliquez pour afficher
    Dernière modification par martini_bird ; 17/07/2007 à 14h09. Motif: [spoiler]

  17. #16
    nassoufa_02

    Re : Les classiques parmi les classiques

    Analyse : Intègrale

    Soit f continue sur [0,1] tel que :



    pour toute fonction g dérivable sur [0,1] je veux montrer que f = 0 .

     Cliquez pour afficher
    Dernière modification par martini_bird ; 17/07/2007 à 14h09. Motif: [spoiler]

  18. #17
    nassoufa_02

    Re : Les classiques parmi les classiques

    Maths générales : Inégalité Mystérieuse .

    Soit a, b, c 3 réels

    Montrer que si
    alors



     Cliquez pour afficher
    Dernière modification par martini_bird ; 17/07/2007 à 14h11. Motif: [spoiler]

  19. #18
    ericcc

    Re : Les classiques parmi les classiques

    Je propose une autre solution :

     Cliquez pour afficher
    Dernière modification par martini_bird ; 18/07/2007 à 12h21. Motif: [spoiler]

  20. #19
    homotopie

    Re : Les classiques parmi les classiques

    Fonctions réelles additives

    Soit une fonction réelle f vérifiant f(x+y)=f(x)+f(y).

    A) Montrer que : f(r.x)=rf(x) pour tout rationnel r et tout réel x.
    B) Montrer que f est linéaire équivaut à :
    1) f est continue
    2) f est croissante
    3) f est intégrable Riemann
    4) f est localement borné
    5) f est mesurable Lebesgue

    2)' si f est multiplicative alors f est linéaire.
    Remarque 1 : la réciproque de 1),2),3),4) et 5) sont évidentes, celle de 2)' est fausse, ces résultats sont évidents.
    Remarque 2 : comme f est additive, il suffit par exemple que f soit continue en un point quelconque, de même les autres conditions ne peuvent être que locales (4) l'est déjà).

    A) f(r.x)=rf(x) pour tout rationnel r et tout réel x.

    Preuve :
     Cliquez pour afficher


    B) Conditions suffisantes pour que f soit linéaire


    1) une fonction réelle additive et continue est linéaire
     Cliquez pour afficher


    2)' une fonction additive et multiplicative est linéaire

     Cliquez pour afficher


    3) f une fonction réelle additive et intégrable Riemann est linéaire.

     Cliquez pour afficher


    Lemme nécessaire aux preuves des résultats 4 et 5
     Cliquez pour afficher


    4) f une fonction réelle additive et localement majorée (ou minorée) est linéaire

     Cliquez pour afficher


    5) f une fonction réelle additive et Lebesgue mesurable est linéaire

     Cliquez pour afficher
    Dernière modification par martini_bird ; 17/07/2007 à 13h58. Motif: Mise en forme : retours à la ligne, balises spoiler.

  21. #20
    Gpadide

    Re : Les classiques parmi les classiques

    [Algèbre] Matrices de passage et base duale.

    Soient B et B' 2 bases d'un meme Kev E de dimension finie n et P la matrice de passage de B à B'. Montrer que la matrice de passage Q de B* à B'* est égale à :

     Cliquez pour afficher
    Dernière modification par martini_bird ; 18/07/2007 à 12h17. Motif: [spoiler]

  22. #21
    nassoufa_02

    Re : Les classiques parmi les classiques

    [Algèbre] : Calcul de déterminant

    Exercice extrait du MethodX je le mets tel qu'il est si ça peut vous rassurer .. !

    Calculer d= dét(pgcd(i,j))

     Cliquez pour afficher
    Dernière modification par martini_bird ; 18/07/2007 à 12h19. Motif: [spoiler]
    L'imagination est plus importante que la connaissance !

  23. #22
    nassoufa_02

    Re : Les classiques parmi les classiques

    [Géométrie générale]

    Ceci n'est certainement pas un classique mais il est plutôt très beau, je le mets là pour que tout le monde ait l'occasion de le voir .. !

    Question :
    mesurer un angle avec une règle !

    Exemple :
    Notons (xôy) l'angle à mesurer . On place A et C sur [Ox) et [Oy) tels que OA=OC=9cm . On trace (D) la perpendiculaire en O à (OA) et dans le demi-plan de frontière (OA) ne contenant pas C , on place le point B de (D) à 15 cm de O . Pour finir on trace la droite (BC) qui coupe (OA) en M . Montrer qu'en mesurant AM en millimètres on obtient au demi degré près la mesure de l'angle (xôy) .

     Cliquez pour afficher
    Dernière modification par martini_bird ; 18/07/2007 à 12h18. Motif: [spoiler]
    L'imagination est plus importante que la connaissance !

  24. #23
    indian58

    Re : Les classiques parmi les classiques

    [algèbre]Lemme de Cauchy

    Soit (G,.) un groupe fini et p un diviseur premier de n, l'ordre de G. Le but est de montrer qu'il existe un sous-groupe d'ordre p.

    1) Soit H un groupe d'ordre pm agissant sur X. En notant , montrer que


    2) En considérant et une action de sur cet ensemble, en déduire le résultat.

     Cliquez pour afficher
    Dernière modification par martini_bird ; 18/07/2007 à 12h19. Motif: [spoiler]

  25. #24
    indian58

    Re : Les classiques parmi les classiques

    [Géométrie] Théorème de Carathéodory

    Soit E un espace affine de dimension n et A une partie de E. Alors l'enveloppe convexe de A est l'ensemble des barycentres à coefficients positifs d'au plus n+1 points de A.

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    Dernière modification par martini_bird ; 18/07/2007 à 12h19.

  26. #25
    indian58

    Re : Les classiques parmi les classiques

    [Géométrie] Théorème de Radon

    Soit E un espace affine de dimension n et A
    un ensemble contenant n+2 éléments de E. Montrer qu'il existe une partition de A en deux sous-ensembles A1 et A2 telle que l'intersection de leurs enveloppes convexes soit non vide.

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    Dernière modification par martini_bird ; 18/07/2007 à 12h20. Motif: [spoiler]

  27. #26
    indian58

    Re : Les classiques parmi les classiques

    [Géométrie] Théorème de Helly

    Soit E un espace affine de dimension n et X1,..., Xp une suite finie de convexes de E. on suppose que p > n+1 et que l'intersection de n+1 quelconques de ces ensembles est non vide. Montrer que l'intersection de tous les Xi est non vide.

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    Dernière modification par martini_bird ; 18/07/2007 à 12h20. Motif: [spoiler]

  28. #27
    indian58

    Re : Les classiques parmi les classiques

    [Analyse]Les applications polynomiales complexes sont ouvertes et fermées

    Soit P un polynôme complexe non constant de degré p. montrer que pour tout ouvert A de , P(A) est ouvert et pour tout fermé B, P(B) est fermé.

     Cliquez pour afficher
    Dernière modification par martini_bird ; 18/07/2007 à 12h25. Motif: [spoiler]

  29. #28
    slimath

    Re : Les classiques parmi les classiques

    votre démonstration est belle .
    mais on peut appliquer directement le théorème de l'exposant.

  30. #29
    Ledescat

    Re : Les classiques parmi les classiques

    [Algèbre linéaire] Matrice antisymétrique non inversible

    Enoncé:
    Soit , A antisymétrique, n impair.
    Montrer que A n'est pas inversible.

    Solution:
     Cliquez pour afficher
    Cogito ergo sum.

  31. #30
    Ledescat

    Re : Les classiques parmi les classiques

    [Analyse] Moyenne de Cesàro :

    Enoncé:

    Soit une suite réelle qui converge vers un réel , alors:

    converge aussi vers .

    Démonstration:
     Cliquez pour afficher
    Dernière modification par Ledescat ; 26/07/2007 à 13h14.
    Cogito ergo sum.

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