Espace Probabilisé

[invited92e9c32]

Salut. Dans les sujets de concours d'entrée aux écoles de commerce, on nous parle souvent de X et Y, variables aléatoires définies sur un même espace probabilisé. J'ai du mal a comprendre ce que ca signifie. Qu'elles ont le même univers?
Merci
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[Romain-des-Bois]

Salut. Dans les sujets de concours d'entrée aux écoles de commerce, on nous parle souvent de X et Y, variables aléatoires définies sur un même espace probabilisé. J'ai du mal a comprendre ce que ca signifie. Qu'elles ont le même univers?
Merci

Bonjour !

Tout dépend du niveau...
De manière rigoureuse :
Soit un espace de probabilité.
et sont deux v.a. déf sur le même espace si elles sont toutes deux -mesurables.

Pour être plus précis, il faudrait donner l'espace d'arrivée...


Ca te va ?

Romain

[invited92e9c32]

Hum, mon niveau est première année de prépa hec. Ce A dont tu parles ne me dit rien, chez nous on définit les espace probabilisés pour omega fini seulement, et on remplace A par P(omega). D'ailleurs, je n'ai aucune idée de ce que veut dire "a mesurable".

Ce qui m'aiderait le plus, je pense, ce serait un exemple concret qui utiliserait des expériences avec des boules ou des dés

[invited92e9c32]

Par exemple, si je tire une boule dans une urne contenant n boules numérotées de 1 à n, et que je note N le numéro de la boule tirée, puis que je lance un dé à N faces et que je note X le résultat obtenu, les variables N et X sont-elles définies sur un même espace probabilisé?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Romain-des-Bois]

Je vais essayer d'être clair sans être trop rigoureux.

est l'ensemble des événements élémentaires.
Si tu lances un dé, les événements élémentaires sont .

(l'ensemble des parties de ) : pour toi (je veux dire à ton niveau), c'est l'ensemble des événements observables.
Par exemple : obtenir un pair = .

Une application définie sur est (sous conditions mais pour toi ce sera toujours le cas) une variable aléatoire.


Venons à ton exemple :
dans ton premier cas, tu as :

est définie sur cet espace avec, pour tout entre 1 et n :
(on suppose l'équiprobabilité)

Dans ton second cas, tu as aussi : (je suppose que le nombre de faces est n et non N)

est définie sur cet espace avec, pour tout entre 1 et n :
(on suppose que le dé est parfait...)

Donc, je dirais que oui, les deux espaces sont les mêmes, les applications et sont définies sur le même espace, et suivent la même loi. Même si elles ne sont pas issues de la même expérience.

Maintenant, je n'ai jamais été en prépa HEC, et je ne sais pas ce qu'on y apprend, ni ce qu'on attend comme réponse...

Romain

[invited92e9c32]

Merci pour ta réponse.

Par contre, le nombre de faces du dé est bien N, pas n, on lance un dé dont le nombre de faces dépend du numéro de la boule tirée. Les deux variables aléatoires ne suivent donc pas la même loi, appartiennent-elles néanmoins à un même espace?

[Romain-des-Bois]

Bonsoir !

Merci pour ta réponse.

Par contre, le nombre de faces du dé est bien N, pas n, on lance un dé dont le nombre de faces dépend du numéro de la boule tirée.

Ah, dans ce cas, c'est plus compliqué.

La variable aléatoire est définie sur un espace qui est lui même aléatoire.
Chaque tirage dans l'urne te définit un nouvel espace probabilisé sur lequel est définie la v.a. X.

Il est clair alors que les v.a. N et X ne sont pas définies sur le même espace. (Pour N, il est "déterministe", pour X il est aléatoire, et il n'y a qu'une chance sur n, pour qu'ils aient la même taille)

Les deux variables aléatoires ne suivent donc pas la même loi, appartiennent-elles néanmoins à un même espace?

Tu ne peux pas dire pour une v.a. quelle appartient à un espace (en tout cas, pas comme tu l'entends).

est définie sur l'espace . Ca, c'est correct.

Si tu veux parler d'appartenance à un espace, il te faut dire :
(par exemple) appartient à l'espace des applications de dans .


Cordialement,

Romain