Les différentielles

[Cyp]

Bonjour à tous,
(je suis en mpsi)
voilà mon problème concerne les "différentielles" : pas les équations différentielles mais juste les différentielles, c'est à dire les fonctions du genre dx ou dy... j'ai trouvé un article dessus pour expliquer à quoi elle correspondait (http://www.sciences.univ-nantes.fr/p...ath/91math.htm)
mais bon je suis pas convaincu...

en fait, mon problème c'est surtout de savoir a quoi la notation dx ou dy correspond vraiment en maths et la différence avec la physique (ou elles sont notées avec un petit delta si j'ai bien tout compris...). Enfin un chtit exemple en espérant que vous puissiez m'aider...

Quand on a la loi de Kepler en physique qui dit que T²/a^3=cste, on peut la différentier pour obtenir que 2*delta(t)/T=3*delta(a)/a est ce que vous pourriez m'expliquer ce qu'on fait vraiment quand on dit qu'on "différentie" une expression...

merci d'avance
@bientot
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[invite55c88d9c]

salut
Dans le cas de kepler T^2=cte*a^3
on prend le Ln : 2*Ln(T)=Ln(cte) + 3*Ln(a)
puis on dérive et on a le resultat le passage au Ln ne pose jamais de probleme en physique mais en math...Ceci s'appelle 'differentier logarithmiquement'.On retrouve ce procédé souvent en physique'loi des gaz parfait);Je n'en sais pas plus sur le sujet.

[invite55c88d9c]

En reflechissant un peu je me souvient d'un livre de math sur les nombres qui discuté des infinimants petit.Le probleme est que ce livre est destiné aux étudiant aprés le BAC + 2.Je peu te le confirmer je suis en PSI et je n'ai rien compris a ce livre.Dou mon avis il peut étre trop tot pour s'interesser a ce sujet.

[zoup1]

Réponse d'un physicien...

Les différentielles en math et en physique c'est la même chose...
seuls ont une signification autonome les "d" (d droit) qui dénote une variation d'une grandeur (sa diférentielle).

Les (d ronds) sont utilisés pour noter la variation d'une fonction (ou d'une grandeur en physique) par rapport à la variation d'une seule des variables dont dépend la fonction.
si f est une fonction de 2 variales (et l'on peut généraliser facilement à plusieurs variables) f(x,y), df dénote la variation de la fonction f pour une variation dx et dy de ses variables. Bien sur l'ensemble de ses variations sont infinitésimales.
Le moyen de calculer cette variaition de f, c'est de prendre séparément en compte la variation de f pour une variation de x et la variation de f pour une variation de y...

et d'écrire cela sous cette forme df=A.dx+B.dy
Question : que sont A et B;
Réponse A est le taux de variation (la "dérivée") de f lorsque x varie et que y est constant. on note cela et cela s'appelle la dérivée partielle de f par rapport à x. idem pour B ce qui nous donne la dérivée partielle de f par rapport à y.
donc

Je poursuis avec un exemple dans le message suivant...

[A voir en vidéo sur Futura]

[Cyp]

Merci de vos deux réponses
en effet j'ai demandé à mon prof de physique l'autre jour et il m'a expliqué qu'on passait par une différentielle logarithmique pour trouver ce résultat... d'ailleurs j'ai compris la méthode :d

Effectivement c'est peut être un peu tôt pour s'intéresser au sujet mais dans pas mal d'exos (surtout en physique) le terme "différentier" apparait et donc j'aimerais savoir ce qui se cache derrière... "on différentie telle expression" enfin le côté mathématique qu'il y a derrière parce que la signification est assez intuitive mais quand on sait vraiment ce qu'on est en train de faire (du point de vue mathématique) c'est quand même mieux... enfin moi je préfère bien comprendre ce que je fais
encore merci de votre aide

[Cyp]

zoup1>merci beaucoup là tu m'intéresses vraiement t'arrête pas

[zoup1]

L'exemple...

On prend une fonction de 2 variables f(x,y)=x²+3.x.y²+2y+1

alors


(Je dérive par rapport à une variable en gardant l'autre comme si il s'agissait d'une constante.)

Du coup,

Ca va ???

[Cyp]

oui pour çà ça va merci beaucoup : en fait les dérivées partielles je vois bien ce que c'est, mais ce qui me gêne plus c'est quand on a une expression (CF l'exemple de la loi de Kepler plus haut) et qu'on dit qu'on la différentie (bon c'est plus de la physique que des maths mais bon)... je vois pas bien ce que ca veut dire... ça veut dire dériver tout bêtement ? et les petits deltas je vois pas bien comment ils apparaissent dans le cas général...

[Cyp]

pour reprendre encore l'exemple de la loi de Kepler, je comprends qu'on passe au log et qu'on dérive mais je comprends pas bien ce que viennent faire les dans la dérivée de ln : en gros pourquoi en dérivant, lnT devient . C'est peut être bête mais bon pour moi ca ferait plus un truc du genre () / T...

[zoup1]

Pour l'expression de Kepler, c'est ce que l'on t'as déjà dis... simplement il s'avère souvent plus simple pour différencier au lieu de déterminer df, de déterminer df/f c'est à dire de calculer la différentielle de ln(f) puisque d(ln(f))=df/f. Cela s'avère extrèment pratique lorsque l'on a une fonction qui est simplement le produit de ses variables élevés à une certaine puissance... ce que l'on appelle une loi de puissance.

Ensuite en physique on a tendance à utliser tout cela en assimlant les élements différentiels df à des variations . C'est ce que l'on fait alors pour faire des calculs d'incertitude. c'est l'incertitude relative...

Je sais pas très bien ce qu'il faut que je détaille. Dis moi...

[edit] j'avais pas vu le message précédent.. je réponds dans le suivant...

[zoup1]

Donc,

puisque ici la fonction n'est que d'une seule variable donc la dérivée partielle a le même sens que la dérivée que je note ' (on le voit pas bien dans l'expression ci-dessus, il est juste après le crochet fermant...

d'où d(ln T) = = dT/T

Cela répond à ta question ???

[Cyp]

je regarde ta réponse

[zoup1]

Je crois qu'on va y arriver

[Cyp]

Ahh ok merci là je pense que j'ai vraiment compris en effet maintenant je vois beaucoup mieux d'où ça vient merci beaucoup :d

[Quinto]

Salut,
techniquement, dx est une forme linéaire.
Maintenant au niveau pratique, on peut voir ca comme une petite variation suivant l'axe x.
On peut montrer, et ce n'est vraiment pas trivial, que si on a une fonction f, alors
df= somme des df/dxi*dxi ou df/dxi sont des "d rondes" et dxi le d droit.
Ainsi, une petite variation de f peut etre vue comme petite variation suivant x1,x2, etc. et les coefficients sont justement les dérivées partielles de f par rapport à la 1e variable, 2e variable etc.

Mais à ton niveau, en pratique les différentielles ne servent à rien.
A+

[zoup1]

J'ai commencé ma réponse en disant que c'était celle d'un physicien... Je suis bien conscient du manque de rigueur de mes réponses mais je crois qu'elle conviennent à Cyp

[Cyp]

Quinto>peut être mais c'est juste que j'aime bien comprendre quand j'écris quelque chose ce que je suis en train d'écrire... donc là à force de voir ces différentielles en physique sans vraiment comprendre ce qu'il y avait derrière... c'est pour çà que j'ai posé la question

[inviteb4d8c3b4]

J'ai 3 questions, si l'on écrit:

d(Ln(y)) = dy/y

1-alors est ce juste si j'écris: d(e^y) = dy/y ?

2- si c'est juste, alors peut-on garder la même forme et seulement remplacer Ln par une autre fonction mathématique et qu'en la différentiant, cela vérifie tjs dy/y ?

3- que ce soit juste ou faux, pour utilise-t-on la différentielle logarithmique Ln ? Apporte-t-elle plus de facilité quelquepart et si oui, en quoi est-ce seulement le Ln et pas une autre fonction style Exponentielle ?

Merci d'avance

[martini_bird]

Salut,

J'ai 3 questions, si l'on écrit:

d(Ln(y)) = dy/y

1-alors est ce juste si j'écris: d(e^y) = dy/y ?

2- si c'est juste, alors peut-on garder la même forme et seulement remplacer Ln par une autre fonction mathématique et qu'en la différentiant, cela vérifie tjs dy/y ?

Si je suis ton raisonnement, on aurait d(Ln(y)) = dy/y = d(e^y)... Bizarre, non?

3- que ce soit juste ou faux, pour utilise-t-on la différentielle logarithmique Ln ? Apporte-t-elle plus de facilité quelquepart et si oui, en quoi est-ce seulement le Ln et pas une autre fonction style Exponentielle ?

Merci d'avance

L'avantage du logarithme, c'est qu'il permet de transformer un produit en somme, plus facile à manipuler. Ainsi d(Log(f.g))=df/f+dg/g.

Cordialement.

[Gwyddon]

salut à tous !

Je voudrais juste vous montrer comment justifier la notation

En fait, comme l'a dit Quinto (il me semble), la différentielle dans le cas général est une application linéaire : on écrit f différentiable en a si on a et df_a est une application linéaire. Quand f est à valeur réelles, les seules applications linéaires sont les homothéties :

Ainsi, on retrouve la notion de dérivée :

Revenons au cas général d'un espace vectoriel sur IR de dimension n.

On peut décomposer df_a sur une base (vu que c'est une application linéaire). On peut alors introduire les dérivées partielles, et on écrit , et les dx_i sont une notation pour la base duale (notation différentielle), les dx_i sont donc des formes linéaires.

En revenant maintenant au cas d'une fonction de la variable réelle, on a

Mais donc on obtient (h non nul dans mon raisonnement) . On écrit donc (dx(1) non nul bien sûr)


Voilà une petite justification de la notation physicienne, et en physique au lieu d'écrire dx(1) on écrira dx.

@+

[inviteb4d8c3b4]

salut à tous !

Je voudrais juste vous montrer comment justifier la notation

En fait, comme l'a dit Quinto (il me semble), la différentielle dans le cas général est une application linéaire : on écrit f différentiable en a si on a et df_a est une application linéaire. Quand f est à valeur réelles, les seules applications linéaires sont les homothéties :

Ainsi, on retrouve la notion de dérivée :

Revenons au cas général d'un espace vectoriel sur IR de dimension n.

On peut décomposer df_a sur une base (vu que c'est une application linéaire). On peut alors introduire les dérivées partielles, et on écrit , et les dx_i sont une notation pour la base duale (notation différentielle), les dx_i sont donc des formes linéaires.

En revenant maintenant au cas d'une fonction de la variable réelle, on a

Mais donc on obtient (h non nul dans mon raisonnement) . On écrit donc (dx(1) non nul bien sûr)


Voilà une petite justification de la notation physicienne, et en physique au lieu d'écrire dx(1) on écrira dx.

@+

Je suis pas une bête en math alors que sont "a" et "h" ?

[martini_bird]

Je suis pas une bête en math alors que sont "a" et "h" ?

Salut,

a est le point en lequel on souhaite calculer la différentielle et h un vecteur arbitraire.

[GrisBleu]

c est sur que les c etait un peu obscur en prepas :
- assez justifies en maths, mais sans retrouver l'"intuiton" qu on avait en physique
- pas justifie du tout en physique, mais tres pratique pour les developements limites et la meca et la thermo

maintenant, quand je me suis mis a etudie les varietes, tout est devenu quand meme plus clair et mieux construit (meme si tout devient local). surtout la difference entre les et les .

[martini_bird]

A ce sujet, je recommande le premier chapitre de l'ouvrage de F. Pham, Géométrie et calcul différentiel sur les variétés (facilement disponible en BU), où il défend les "différentielles de Papa".