Les différents types d'équation différentielles

[invite234d9cdb]

Bonsoir !

Il existe a ma connaissance 3 types d'équation différentielles :
-à variable séparable
-linéaire
-à fonction homogène.


Ma question : comment les distinguez vous ? Pouvez vous me donner des exemples ?
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[Bleyblue]

Il y a bien d'autres cas, l'ennui c'est que ça ne se distingue pas spécialement du premier coup d'oeil.

D'autres part certaines équadiffs. peuvent appartenirent à plusieurs des catégories que tu as citées

Exemple :

y' + xy = 0 est une équation différentielle linéaire à variable séparable (vois-tu pourquoi ?)

y' + y² = 0 est une équation différentielle à variable séparable non linéaire (vois-tu pourquoi ?)

[invite234d9cdb]

Différence entre linéaire et non linéaire ? Et entre séparable et non séparable ?

Linéaire des rares fois que j'ai entendu le mot j'en suis arrivé à la conclusion que ça signifiait qu'il ne pouvait y avoir dans l'équation un produit entre 2 variables. Je vois dès à présent que je me trompais vu ton exemple : y' + xy = 0

[Bleyblue]

En fait :

Sont linéaires les équations différentielles du type :



Sont a variables séparables les équations différentielles dont on peut isoler les variables (tout les x d'un côté est les y de l'autre)

Sont à fonction homogène les équations du type :

y' = f(y/x)

Elle sont appelées à fonction homogène car y' reste inchangé si y et x sont simultanément multipliés par un même facteur
ex :

y' = (x + y) / (x - 3y) est à fonction homogène

mais pas :

y' = (x + y&#178/(x - y)

[A voir en vidéo sur Futura]

[Bleyblue]

Si tu veux des exemples pour bien distinguer linéaire et à variables séparables :

1) y' = x² + y²

n'est ni linéaire (à cause du y&#178 ni à variables séparables (essaye de séparer les variables tu verras que ça ne va pas)

2) 2y'' + y' - y = 5x

est linéaire (et comme tous les coefficients des termes en y sont constants on dit qu'elle est à coefficients constants) mais pas à variables séparables

3) y'''' = x est linéaire à variables séparables

4) xy'' + x³y' + y = 0 est linéaire pas à variables séparables et pas à coefficients constants

5) (x² + 1)y' + y = 5 est linéaire à variable séparable

...

[invite234d9cdb]

Si tu veux des exemples pour bien distinguer linéaire et à variables séparables :

1) y' = x² + y²

n'est ni linéaire (à cause du y&#178 ni à variables séparables (essaye de séparer les variables tu verras que ça ne va pas)

Et si je fais y'-y²=x², n'ais-je pas isolé les variables y d'un coté et les x de l'autre ?



Je ne comprends pas très bien cette expression; pourquoi tes x sont entre parenthèse ?

[Bleyblue]

Et si je fais y'-y²=x², n'ais-je pas isolé les variables y d'un coté et les x de l'autre ?

Ben non car tu as en fait : y' = dy/dx

Le but est de mettre tous les y (le dy comprit) dans un des membres et tous les x (le dx comprit) dans l'autre.
Tu peux essayer, ce n'est pas possible

Sinon pour l'expression d'une équadiff linéaire ça me semblait évident que désignait une fonction de x, mais visiblement j'aurais du préciser, désolé

Je reprend :

Soit une n + 2 fonctions de x

Soit y(x) une autre fonction de x

La relation :



est appelée équation différentielle linéaire d'ordre n en la fontion y.

Si je prend : y" + xy' + 5y' = cos x

j'ai n = 2, a2(x) = 1, a1(x) = x, a0(x) = 5, b(x) = cos x

[invite234d9cdb]

C'est plus clair merci
N'oubliez jamais que ce qui vous paraît intuitif et évident ne l'est pas pour le novice (je dis ça pour me rattraper du fait que j'avais pas compris la première fois que an(x) était une fonction de x ).

[Bleyblue]

N'oubliez jamais que ce qui vous paraît intuitif et évident ne l'est pas pour le novice (je dis ça pour me rattraper du fait que j'avais pas compris la première fois que an(x) était une fonction de x ).

De toute façon j'aurais du préciser qu'il s'agissait de fonctions, c'était une imprécision de ma part ...

Et tu n'es pas plus novice que moi va

[invite234d9cdb]

Dans y" + xy' + 5y' = cos x

J'imagine que le 5y' est une faute de frappe, c'est 5y

Au fait si on avait eu y''+(5+x)y'=cosx, ce n'est plus linéaire vu qu'il manque le terme en y ? Ca compte si a1(x)=0 ?

[invitebb921944]

Si, c'est toujours linéaire. (simplement le coefficient devant y vaut 0)

[Bleyblue]

J'imagine que le 5y' est une faute de frappe, c'est 5y

En effet désolé, mais comme le dit Ganash ça reste linéaire. Simplement le coefficient devant le y vaut zéro.

Ainsi l'équation :

5y'''''' + y''' - y' = (x² + x + 1) est linéaire

[invite234d9cdb]

y' = (x + y) / (x - 3y) est à fonction homogène

mais pas :

y' = (x + y²)/(x - y)

Dans le deuxième cas c'est à cause du y², c'est bien ça ? Admettons que je fasse tout fois 5, je vais avoir 25y², ce qui ne permet pas de simplification pour revenir au cas initial.

[Bleyblue]

Dans le premier cas, prenons par exemple le nombre 87.
Multiplions à la fois x et y par 87

on à y' = (87x + 87y)/(87x - 3*87y) = (x + y)/(x - 3y)
L'équation est inchangée donc elle est bien à fonction homogène

Par contre pour le second cas on aura :

y' = (87x + 87²y&#178/(87x - 87y) = (x + 87y)/(x - y)
L'équation n'est plus la même que celle de départ donc elle n'est pas à fonction homogène

Le fait qu'elle soit à fonction homogène nous permet d'utiliser une technique de résolution assez pratique (que tu connais j'imagine ...)

[invite234d9cdb]

Oui en effet, j'ai pu rédiger une méthode de résolution en fonction du type d'équation maintenant que je sais les distinguer

Je mettrais peut-être ça sur le forum après les examens, ça pourra être utile à plus d'un

Il ne me reste plus qu'à vous remercier (et encore une fois en particulier Bleyblue