continue-uniformement continue-lipschitisienne

harry-potter · 28/11/2008 - 21h40

salut;
je vais bien compris ces notations d'une façon très claire:

fonction continue-fonction uniformement continue-fonction lipschitisienne

je voudrais bien comprendre leurs définitions avec l'epsilon et surtout de point du vue grafique:
par exemle; si on dit que la continuité est le traçage de la courbe de la fonction sans lever la main , comment peut-on comprendre une fonction uniformement continue ou lipschitisienne par ce même esprit ?

merci d'avance.

Antho07 · 28/11/2008 - 21h52

Pour la continuité simple sur un intervalle I.

$\forall \epsilon>0, \forall x \in I, \exists \alpha_{\epsilon,x}, \forall x' \in I, |x-x'|<\alpha \Rightarrow |f(x)-f(x')|<\epsilon$

ici le $\alpha$ dépend de $\epsilon$ et de x. C'est pour sa que j'ai noté $\alpha_{\epsilon, x}$

Pour une fonction uniformement continue sur un intervalle I

$\forall \epsilon>0, \exists \alpha_{\epsilon}, \forall x,x' \in I, |x-x'|<\alpha \Rightarrow |f(x)-f(x')|<\epsilon$

ici le $\alpha$ dépend uniquement de $\epsilon$

Une fonction est K-lipshitzienne sur un intervalle I

$\forall x,x' \in I, |f(x)-f(x')|\leq K|x-x'|$

Antho07 · 28/11/2008 - 21h58

on a de plus,

f lipshitzienne implique f uniformement continue implique f continue

harry-potter · 28/11/2008 - 22h00

salut antho07;
peut-tu m'expliquer encore cette dépendance de x, x' et epsilon en précisant ce qui ce réalise exectement sur le graphe de la fonction f(x).
et y a-t- il une méthode pour voir ces choses grafiquement?

merci.

Antho07 · 28/11/2008 - 22h12

le probleme c'est que tu point de vu graphique , on voit pas trop la différence entre la continuité et l'uniforme continuité.

En gros, la continuité.
On prend un x, il existe alors un petit intervalle autour de x tels que sur cette intevalle la fonction ne varie au max que de epsilon. Cependant ici, si on prend un autre x il faudra changer la taille de l'intervalle autour de x pour que la fonction ne varie que de epsilon.

La continuite uniforme.

On prend un x, il existe un petit intervalle autour de x tel que la fonction ne varie que de epsilon sur cette intervalle.
Mais ici, la longueur de l'intervalle(que je note a ) marche pour n'importe quel x.
des que l'on a |x-x'|<a alors on a |f(x)-f(x')|<epsilon.

Dans le premier cas, le a change à priori pour tout x qu'on a choisit au départ .

En faite , on voit pas grand chose graphiquement, il y a meme le theoreme de Heine qui dit que des que f est continue sur un intervalle [a;b] (fermé, borné) alors f est uniformement continue sur [a;b]

EXEMPLE: la fonction g definit sur [0;+ l infini [ par g(x)=x² n'est pas uniformement continue tandis que la fonction f defini sur le meme intervalle par
f(x)=x l'est.

Antho07 · 28/11/2008 - 22h20

rhomuald · 28/11/2008 - 22h25

Salut,

il me semble qu'on a cette propriété qui permet de vérifier si une fonction est bien UC (d'un point de vue graphique):

si une fonction est $f$ UC sur un intervalle $I$ , si il existe des réels $a,b$ tels que pour tout $x\in I$ ,

$|f(x)|\leq a|x|+b$ .

harry-potter · 28/11/2008 - 23h26

Envoyé par rhomuald

Salut,

il me semble qu'on a cette propriété qui permet de vérifier si une fonction est bien UC (d'un point de vue graphique):

si une fonction est $f$ UC sur un intervalle $I$ , si il existe des réels $a,b$ tels que pour tout $x\in I$ ,

$|f(x)|\leq a|x|+b$ .

salut rhomuald;

peut-tu nous donner un petit exemple pour nous faire une petite démonstration?
merci.

Garnet · 29/11/2008 - 11h37

Envoyé par rhomuald

Salut,

il me semble qu'on a cette propriété qui permet de vérifier si une fonction est bien UC (d'un point de vue graphique):

si une fonction est $f$ UC sur un intervalle $I$ , si il existe des réels $a,b$ tels que pour tout $x\in I$ ,

$|f(x)|\leq a|x|+b$ .

On a : $f$ UC $\Rightarrow$ $\exists a,b$ etc...

La réciproque est fausse.

Pour une fonction dérivable : $f$ Lipchitz $\Leftrightarrow$ $f'$ bornée.

Donc graphiquement $f$ est Lipchitz si la pente de ses tangente sont majorés. Les exemples type de fonction NON-Lipchitz sont : $\sqrt{x}$ , $1/x$ et $x^2$ .

harry-potter · 30/11/2008 - 07h33

salut les amis ;

grâce à vous ,il est clair maintenant comment peut-on connaître grafiquement les fonctios continues et lipschitisiennes .

mais pas pour les uniformement continues.
y-a-il une méthode pour le faire ?

Rhomuald m'a donné cette idée

Envoyé par rhomuald

Salut,

il me semble qu'on a cette propriété qui permet de vérifier si une fonction est bien UC (d'un point de vue graphique):

si une fonction est $f$ UC sur un intervalle $I$ , si il existe des réels $a,b$ tels que pour tout $x\in I$ ,

$|f(x)|\leq a|x|+b$ .

mais Garnet n'est pas d'accord avec lui :

Envoyé par Garnet

On a : $f$ UC $\Rightarrow$ $\exists a,b$ etc...

La réciproque est fausse.

Pour une fonction dérivable : $f$ Lipchitz $\Leftrightarrow$ $f'$ bornée.

Donc graphiquement $f$ est Lipchitz si la pente de ses tangente sont majorés. Les exemples type de fonction NON-Lipchitz sont : $\sqrt{x}$ , $1/x$ et $x^2$ .

De toute façon, merci pour tous les amis qui ont m'aidé.mais,le problème est ce que aucun ne m'a donné une petite démonstration pour me convaincre , disons un simple exemple .

je souhaite que vous le faîtes .et vous faîtes le mieux encore si vous me communiquez une méthode permenant de connaître cette fonction uniformement continue s'il la méthode existe bien évidemment.
merci d'avance.

God's Breath · 30/11/2008 - 11h00

Bonjour harry-potter,

Ta question n'est pas très facile : une application uniformément continue n'a pas de caractérisation graphique simple.

Déjà pour la continuité, le fameux « on peut tracer la courbe sans lever le crayon » n'est vrai que de très loin... je demande à voir comment on fait pour la courbe de Peano ou autre bricoles de ce genre ; si on trace, il faut une vitesse de la pointe traçante, donc une fonction de classe $C^1$ au moins... parce que dans la pratique, il y a même une accélération de la pointe...

Pour les fonctions lipschitziennes dérivables, le critère de Garnet est le meilleur qui soit : une fonction dérivable est lipschitzienne si, et seulement si, sa dérivée est bornée : graphiquement les tangentes ont une pente bornée.

J'ai envie de dire que, comme l'on ne peut « tracer » que des fonctions dérivables (par morceaux...), on ne peut pas être amené à « voir » le graphe d'une fonction uniformément continue non lipschizienne.

En ce qui concerne le critère de Rhomuald.

Tu considères un module d'uniforme continuité, $\alpha$ , tel que, par exemple : $\forall(x,y)\in\mathbb{R}^2 |x-y| \le \alpha \ \Longrightarrow \ |f(x)-f(y)| \le 1$ .

Tu démontres, par récurrence, que, pour tout entier naturel $n$ , on a : $|f(n\alpha)| \le n + |f(0)|$ et $|f(-n\alpha)| \le n + |f(0)|$ .

Ensuite, pour tout $x$ réel, tu poses $k = E(x/\alpha)$ de telle sorte que $k\alpha \le x \le (k+1)\alpha$ , et tu en déduis : $|f(x)| \le |f(k\alpha)| + 1 \le |k| + |f(0)| + 1$ .

Comme $|k|\alpha \le |x| + \alpha$ , tu as finalement : $|f(x)| \le \frac{|x|}\alpha + |f(0)| + 2$ , et la relation voulue avec $a = \frac1\alpha$ et $b = |f(0)| + 2$ .

La réciproque est fausse ; tu considères la fonction définie par $f(x) = x\sin(x^2)$ et tu as :
– $|f(x)| \leq |x|$ donc la relation voulue avec $a = 1$ et $b = 0$ ;
– $f'(x) = \sin(x^2) + 2x^2\cos(x^2)$ , donc $f'(\sqrt{2n\pi}) = 4n\pi$ , $f'$ n'est pas borné et la fonction n'est pas uniformément continue.

La différence essentielle entre la continuité et l'uniforme continuité s'aborde par les limites :
– $f$ continue, c'est : pour tout $a$ , si la suite $(x_n-a)$ tend vers $0$ , alors la suite $(f(x_n)-f(a))$ tend vers $0$ ;
– $f$ uniformément continue, c'est : si la suite $(x_n-y_n)$ tend vers $0$ , alors la suite $(f(x_n)-f(y_n))$ tend vers $0$ .

Si l'on y réfléchit bien, on a une tendance naturelle à confondre ces deux énoncés. Le second implique le premier qui en est cas particulier lorsque $y_n = a$ , mais on ne peut évidemment pas généraliser du premier au second.

Je prends l'exemple de la fonction de la fonction définie par $f(x) = x^2$ :
– pour tout $a$ , si $(x_n-a)$ tend vers $0$ , alors la suite $(x_n^2-a^2)$ tend vers $0$ , donc $f$ est continue ;
– si $(x_n-y_n)$ tend vers $0$ , on ne peut pas en déduire que $(x_n^2-y_n^2)$ tend vers $0$ (par exemple $x_n = n^2$ et $y_n = x_n + \frac1n$ ) : $f$ n'est pas uniformément continue.

C'est là le fondement de la différence entre continuité et uniforme continuité : si le point variable $x_n$ se rapproche du point fixe $a$ , alors $f(x_n)$ se rapproche de $f(a)$ (continuité), mais si les points variables l'un de l'autre, peut-on dire que les points $f(x_n)$ et $f(y_n)$ se rapprochent l'un de l'autre (uniforme continuité) ? On est tenté de dire oui, mais l'exemple de la fonction $x^2$ montre que les points variables $x_n$ et $y_n$ peuvent se rapprocher l'un de l'autre, alors les points $x_n^2$ et $y_n^2$ s'éloignent l'un de l'autre.