fonctions implicites et énervantes

[christophe_de_Berlin]

Bonjour,

j´ai un exo dont je comprend en gros le corrigé, mais il y quand même un détail qui m´échappe. Il s´agit d´utiliser le théorème des fonctions implicites. En voilà l´énoncé et le corrigé:

Déterminer en quels points de C la fonction cosh(z) est un difféormorphisme local.

Corrigé: Il est clair que cosh est holomorphe et que cosh´= sinh(z).
De plus sinh(z) = 0 ssi ez = e-z, donc pour z = i.k.PI.

C´est cette dernière phrase que je ne comprend pas. Il est clair que pour que cosh soit un difféormorphisme local en z, il faut et il suffit que sinh(z) soit une bijection. Mais pourquoi en déduire que sinh(z) doit être différent de 0? Je ne vois pas le rapport

Merci d´avance

christophe
-----

[God's Breath]

C´est cette dernière phrase que je ne comprend pas. Il est clair que pour que cosh soit un difféormorphisme local en z, il faut et il suffit que sinh(z) soit une bijection.

Non, non non !!!
Ce que tu écris n'as pas de sens : est un nombre complexe, il ne peut en aucun cas être une bijection.

Reprenons : est un difféomorphisme local au voisinage du point si, et seulement si, la différentielle est une bijection.
Lorsque est holomorphe, ce qui est ton cas, la différentielle est l'application : du point de vue complexe c'est l'homothétie de rapport , du point de vue réel c'est la similitude de rapport et d'angle .
Cette différentielle est bijective si, et seulement si, est non nul : dans ton cas tu retrouves bien la condition .

[christophe_de_Berlin]

oui, merci, évidement! J´ai tout confondu, je suis en dimension 1, donc ma différentielle se réduit à la multiplication par un seul nombre (en l´occurence complexe), elle est donc inversible ssi ce nombre l´est aussi, donc non nul.

Coup de fatique avant les examens...