Un petit peu de topologie, là

[julien_4230]

Bonjour tout le monde !! comment ça va ?

Alors, soit (E,||.||) un evn et A une partie de E.

A est dense dans E signifie que l'ensemble des points adhérents à A vaut E.

Maintenant, on a dit en première année de prépa que Q est dense dans IR. J'aimerais raccrocher cela à la définition topologique.
Alors tout point adhérent de Q appartient à IR, i.e. toutes les fractions sont réelles, puisque, en effet, pour tout q de Q, toute boule ouverte BO(a,r) contient un point de IR (c'est ce que l'on apprend depuis la seconde).
On peut dire alors que IN aussi est dense dans IR? IR dense dans IC?

Merci !
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[Médiat]

Alors tout point adhérent de Q appartient à IR, i.e. toutes les fractions sont réelles, puisque, en effet, pour tout q de Q, toute boule ouverte BO(a,r) contient un point de IR (c'est ce que l'on apprend depuis la seconde).

C'est parce que toutes les boules ouvertes dans IR contiennent un rationnel que IQ est dense dans IR.

On peut dire alors que IN aussi est dense dans IR?

Non

IR dense dans IC?

Non

Ces deux non sont faciles à saisir avec la bonne définition

[julien_4230]

Mais attendez je pourrais peut-être réfléchir deux secondes, bordel.
soient n entier, x réel et c complexe.

q+x appartient à Q.
n+x appartient à IR.
c+x appartient à IC.

J'ai envie de noter que :
q=p/r avec p,r entiers.

q+x=p/r+x=(p+rx)/r, donc effectivement q+x appartient à Q.
n+x, par exemple 1+0.5=1.5 est réel, et cet exemple suffit pour dire que n+x n'appartient pas à IN. Il appartient donc à IR.
Même raisonnement pour c+x.

Merci ! Merci ! hé hé hé.

@(racine de)+

[thepasboss]

Bonjour,

Euh puis-je te demander une explication sur ce que tu as écrit Julien ? Parce que je ne vois pas trop le rapport avec la densité à priori ^^

Ah sinon pour x réel et q rationnel, x+q n'est pas forcement rationnel.
(par exemple Pi + 1/2 ne l'est pas)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitebe0cd90e]

Il me semble qu'il ya une confusion des ton premier message : la definition dit : l'ensemble des points adherants a A vaut E (ce qui est la definition correcte de la densité)

Tu traduis ca dans le cas de Q par : tout point adherant de Q est dans R.

Deja on parle bien de point adherant à un ensemble, ce qui sous entend a juste titre qu'il n'appartiennent pas forcement a cette ensemble. Ensuite on ne veut pas simplement qu'ils soient tous dans R, mais bien qu'ils forment R tout entier.

Comme on est dans un espace metrique, l'adherence de Q peut aussi se voir comme l'ensemble des limites de suites d'element de Q, qui est bien R par definition de R.

D'un point de vue purement topologique, la caracterisation de Médiat est la bonne : toute boule ouverte centré en un reel contient un rationnel, donc tout fermé qui contient Q contient aussi tous les reels.