Opérateur linéaire dans un Hilbert

[invite1dcc6e5b]

Bonjour, je dois répondre à la question suivante, j'avoue être un peu perdu,

soit A un op linéaire borné dans un Hilbertien H, à valeur dans H.
Montrer que le produit AA* est un opérateur autoadjoint
Montrer que ||AA*||=||A||^2

Qulequn aurait il une idée? Merci!!
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[God's Breath]

Par définition, le produit est autoadjoint si, et seulement si, pour tout et tout , éléments de , on a , ce qui est immédiat avec la définition de l'adjoint.

En utilisant la définition de la norme d'un opérateur, tu prouves successivement que :


et tu conclus.

[invite1dcc6e5b]

Merci bien God's Breath,

Dis moi aurais tu une idéée pour le problème suivant
Je dois montrer que le sup sur la boule unité de |<Ax|x>| est ||A|| si A est autoadjoint dans un hilbertien.
En tout cas, merci encore