∞ !

invitee6b69a67 · 23/02/2005, 13h08

L'infini...

Le paradoxe de zénon : Qui connais ?

En fait son principe c'est de mettre l'infini, partour, dans nos moindre gestes !

Donc par exemple, vous etes placé a 1m d'1 Mur...Vous lancez une pierre dessus ! Pour le moment, rien de compliqué...

A votre avis, la pierre touche ou ne touche pas le mur ?

Et ben d'après ce paradoxe, NON ! C'est impossible !
D'abord, la pierre deveras parcourir 1/2 du trajet qui la sépare du mur
Ensuite, 1/2 de ce qui lui reste a parcourir !La pierre a dejas parcouru 3/4 du trajet initial ! Mais, ensuit, elle doit encor parcourir la moitié de ce qui lui reste a parcourir ! Donc 1/8 du parcour initial !
Ons est donc a 7/8 parcouru depuis le lanceur et le mur !
Et ce phénomen se poursui encou et encor, a l'infini ! Donc la pierre ne toucheras jamais le mur !

Pourlant la pierre touche bien le mur !

Kes ke vous en pensez ??

**Evil.Saien** · 23/02/2005, 13h15

Salut,
ce sujet a déjà été évoqué de très nombreuses fois... et il s'avère que ce paradoxe reste un faux paradoxe, réfutable à la fois mathématiquement et intuitivement...

**matthias** · 23/02/2005, 13h15

Ce n'est un paradoxe que pour les grecs anciens et les sophistes du moyen-âge.

invite9b7da66e · 23/02/2005, 13h17

Le problème est connu, voici un sujet qui pourra peut être t'éclairer (les séries ça ne fait pas parti de ton programme je pense

) : http://les-mathematiques.u-strasbg.f...&i=6170&t=6146

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invitee6b69a67 · 23/02/2005, 13h22

Ok thx pour l'adresse !

Dsl mais c'est la première fois que j'écris sur le forum des Math (je savais pas que cette question avais dejas été posée !)

Je préfère l'astrophysique et la physique...mais fo bien faire des MAth !^^
A par ca, merci !

**matthias** · 23/02/2005, 13h27

Envoyé par Youp'titou

Dsl mais c'est la première fois que j'écris sur le forum des Math (je savais pas que cette question avais dejas été posée !)

Y a pas de mal ni de raison de ne plus écrire ici.

Envoyé par Youp'titou

Je préfère l'astrophysique et la physique...mais fo bien faire des MAth !^^
A par ca, merci !

Pour continuer la physique, il faudra faire BEAUCOUP de maths

Et je ne parle pas de l'astrophysique ....

**Evil.Saien** · 23/02/2005, 13h28

J'ai pas dit ca pour te réprimender ou quoi que ce soit, juste pour te signaler que tu peux consulter des posts qui traitent déjà du sujet et qui peuvent éventuellement t'éclairer (j'suis pas moderateur

)

invite15b3cc9b · 23/02/2005, 16h58

La pierre touchera forcement le mur car la pierre avancera d abord de 1, puis il lui restera a parcourir 1/2, puis 1/4 etc....jusqu a l'infini.

Soit S la somme de tout cela,

S=1+1/2+1/4......

On a

S=1+1/2(1+1/2+1/4....)
d'ou

S=1+(1/2)S

donc S-(1/2S)=1

donc S=2.

On obtient un nombre fini donc la pierre touchera le mur

**Evil.Saien** · 23/02/2005, 17h00

Envoyé par whatake

Soit S la somme de tout cela,

S=1+1/2+1/4......

On a

S=1+1/2(1+1/2+1/4....)
d'ou

S=1+(1/2)S

donc S-(1/2S)=1

donc S=2.

C'est presque juste sauf que S = 1/2 + 1/4 + 1/8 +...
Donc S=1 pas 2...

invite48c8c396 · 23/02/2005, 17h24

Envoyé par Youp'titou

L'infini...

Le paradoxe de zénon : Qui connais ?

En fait son principe c'est de mettre l'infini, partour, dans nos moindre gestes !

Donc par exemple, vous etes placé a 1m d'1 Mur...Vous lancez une pierre dessus ! Pour le moment, rien de compliqué...

A votre avis, la pierre touche ou ne touche pas le mur ?

Et ben d'après ce paradoxe, NON ! C'est impossible !
D'abord, la pierre deveras parcourir 1/2 du trajet qui la sépare du mur
Ensuite, 1/2 de ce qui lui reste a parcourir !La pierre a dejas parcouru 3/4 du trajet initial ! Mais, ensuit, elle doit encor parcourir la moitié de ce qui lui reste a parcourir ! Donc 1/8 du parcour initial !
Ons est donc a 7/8 parcouru depuis le lanceur et le mur !
Et ce phénomen se poursui encou et encor, a l'infini ! Donc la pierre ne toucheras jamais le mur !

Pourlant la pierre touche bien le mur !

Kes ke vous en pensez ??

Pourtant, la réponse était bien dans la SVJ dont tu parles... Y en a d'autres des additions farfelues comme ça...

invitee6b69a67 · 23/02/2005, 17h37

Envoyé par matthias

Pour continuer la physique, il faudra faire BEAUCOUP de maths

Et je ne parle pas de l'astrophysique ....

Ca c'est certain ! Mais j'adore les MAT aussi...seulement, je met un peu plus de temps a comprendre ^^

Envoyé par Evil.Saien

J'ai pas dit ca pour te réprimender ou quoi que ce soit, juste pour te signaler que tu peux consulter des posts qui traitent déjà du sujet et qui peuvent éventuellement t'éclairer (j'suis pas moderateur )

Mais non t'inquiète pas ! mais merci beaucoup !

Envoyé par whatake

La pierre touchera forcement le mur car la pierre avancera d abord de 1, puis il lui restera a parcourir 1/2, puis 1/4 etc....jusqu a l'infini.

Soit S la somme de tout cela,

S=1+1/2+1/4......

On a

S=1+1/2(1+1/2+1/4....)
d'ou

S=1+(1/2)S

donc S-(1/2S)=1

donc S=2.

On obtient un nombre fini donc la pierre touchera le mur

Ben non toujours pas !
Si tu dis que
S=1+1/2+1/4......
Continu l'equation et tu te feras chi** toute ta vie, car elle ne termineras jamais

Car si tu rajoute a cahque fois la moité d'une moitié d'une moitié d'une moitié d'une moitié d'une moitié d'une moitié d'une moitié d'une moitié d'une moitié d'une moitié d'une moitié d'une moitié d'une moitié d'une moitié d'une moitié d'une moitié d'une moitié d'une moitié d'une moitié d'une moitié ... (facil avec le copier coller lol) si t'y réfléchit bien, tu n'auras jamais un résultat exacte !
T'auras beau faire cette etape 10^∞ (bien trouvé non ?) tu ne trouveras JAMAIS S=1 ou S=2

(ca dépend comment tu prend le problème)

NON Mais !!!!!

invitee6b69a67 · 23/02/2005, 17h39

Envoyé par Pierre-Yves

Pourtant, la réponse était bien dans la SVJ dont tu parles... Y en a d'autres des additions farfelues comme ça...

Ouais, c'etait bien dans SVJ, Mais j'avais envi d'en parler ! et d'en savoir plus...Mais si on pinaille pour se mettre d'accord, ca vas etre cho !

**Coincoin** · 23/02/2005, 17h46

T'auras beau faire cette etape 10^∞ (bien trouvé non ?) tu ne trouveras JAMAIS S=1 ou S=2

Ben si... Si tu le fais 10^99999999999999999999999 fois ça suffira pas, mais si tu le fais une infinité de fois, ça pose pas de problème. C'est pas parce qu'il y a une infinité de temres qu'on peut pas le calculer. Si je te demandes la limite quand x tend vers l'infini de 1/X, tu n'es pas obligé de prendre une série de nombres de plus en plus grands...

invitee6b69a67 · 23/02/2005, 17h54

Meme si on le fait une infinité de fois ! Ca ne marche pas quand même !
C'est obligé ! C'est une manière de raisoner qui ne donneras jamais ce qu'on veux atteindre !
Cela nous donneras une infinité d'étape, pour arriver a un nombre toujours inférieur a 1 (ou 2 ^^)
Ou alors c'est que je ne comprend pas comment vous raisonnez !

Autrement je suis presque certain de ce que je dis !

**Coincoin** · 23/02/2005, 18h02

Une infinité de fois n'a pas du tout le même sens qu'un grand nombre de fois... Effectivement, si chaque étape te prend un temps donné non-nul, pour en faire une infinité ça risque de prendre du temps

. Mais écrire une équation, ce n'est pas la calculer à la main ou à la calculette.
On peut mathématiquement parler de l'infini grâce aux maths. On peut dire que la somme infinie de 1/2+1/4+1/8+... est rigoureusement égale à 1.

Autrement je suis presque certain de ce que je dis !

Je te propose une expérience : tu cours droit vers un mur, si tu as raison, Zénon te dit que tu ne l'atteindras jamais, si j'ai raison, tu te le mangeras en pleine face... T'es toujours aussi sûr de toi ?

invitee6b69a67 · 23/02/2005, 18h17

G essayé, et G meme pas toché le mur !*

Je comprend bien ce que tu dis mais toi tu raisonne normalement !
Zénon, c'est uste une facon de raisonner (fausse mais vraie en meme temps) : la pierre passeras par ue infinité d'étape pour arriver jusqu'au mur, ce qui veux dire d'une facon qu'elle ne le toucheras jamais !

* je me suis arrêté avant, je suis seul chez moi alors si jé fé un tromatisme cranien, t'imagine la gueule de mes parents !^^

**Coincoin** · 23/02/2005, 18h24

la pierre passeras par ue infinité d'étape pour arriver jusqu'au mur

Oui

ce qui veux dire d'une facon qu'elle ne le toucheras jamais !

Non
Si tu supposes que le mouvement se fait à vitesse constante (ce qui est normal comme hypothèse), chaque étape prendra un temps de plus en plus court. Et si tu calcules, tu verras qu'on peut faire une infinité d'étapes en un temps fini...

**bardamu** · 23/02/2005, 19h13

Envoyé par Coincoin

(...)
On peut mathématiquement parler de l'infini grâce aux maths. On peut dire que la somme infinie de 1/2+1/4+1/8+... est rigoureusement égale à 1.

Salut,
il y a des cas plus amusants que ceux des convergences simples et qui posent bien le problème du physique et du mathématique, comme par exemple la lampe de Thomson :

nous avons une lampe qui s'allume pendant 1/2 minute, s'éteint un 1/4 de minute, se rallume 1/8e de minute, s'éteint 1/16e de minute etc...
A la fin de la minute, la lampe est-elle allumée ou éteinte ?

**Coincoin** · 23/02/2005, 19h24

Mathématiquement : ça ne converge pas...
Physiquement : éteinte, et claquée

**bardamu** · 23/02/2005, 19h28

Envoyé par Youp'titou

G essayé, et G meme pas toché le mur !*

Je comprend bien ce que tu dis mais toi tu raisonne normalement !
Zénon, c'est uste une facon de raisonner (fausse mais vraie en meme temps) : la pierre passeras par ue infinité d'étape pour arriver jusqu'au mur, ce qui veux dire d'une facon qu'elle ne le toucheras jamais !

Salut,
si Zénon raisonne mal, il faut encore savoir en quoi.
Est-ce que tu vois la contradiction entre dire qu'on est en mouvement et qu'on fait une infinité "d'étapes", comme si on s'arrêtait une infinité de fois ?

invitee6b69a67 · 23/02/2005, 19h35

Je ne suis toujours pas d'accord avec Coincoin (WC ! vive les nuls !*)
Les étapes prennent de moins en moins de temps, ca OK !
Mais quand tu rapetisse, tu ne finis PAS !
Le fait de couper la distance qui lui reste a parcourir par 2 a cahque fois coupe aussi le temps par 2 ! (a vitesse constante !)!
Si on répète cette etape une infinité, Tu vas rapetisser les distances qui reste a parcourir jusqu'a des milliardième de millionièmes de nanomètre ! Mais ça ne toucheras JAMAIS si on résonne ainsi !

Si du dis que tu répète cette étape 10^999999999999999999999999999 99999999999999999999999999999
a l'infini de 9 donc 10^∞ , tu ne pourras jamais toucher ce MUR !

Autrement, bonne proposition plus amusante de BARDAMU...
On ne sauras jamais si la lampe termineras allumée ou éteinte car elle clignoteras toujours, de plus en plus rapidement a l'infini !!!

Je sens ke tu vas toujours pas etre d'accord MAIS j'aime bien kan on est pas d'accord avec moi !

*fiouf, j'aimerais pas etre un microbe dans vos chiottes !

**Gwyddon** · 23/02/2005, 19h39

J'ai magistralement l'impression que la discussion est hors de portée pour certains intervenants : la notion de convergence et d'infini se voit en 1ereS, rigoureusement dans l'enseignement supérieur, etc...

Le mieux je pense pour se convaincre qu'une somme infinie peut donner un nombre fini est de passer par les séries géométriques : par exemple 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... + 1/2^N (N un entier naturel donné) peut s'écrire
$\text{[math]}$

C'est une notation, où i est un indice variant de 1 à N, et qui signifie que l'on somme les termes 1/2^i pour i=1 jusqu'à i=N.

On peut montrer que l'on a $\text{[math]}$

(Vous me croyez pour l'instant).

Maintenant, il s'agit de s'interroger sur le terme (1/2)^N ; que se passe t'il quand je fais grandir N ? On se rend compte que (1/2)^N devient de plus en plus petit, et s'approche de plus en plus de 0. Quand on fait tendre N vers l'infini, on a alors mathématiquement (et rigoureusement) 0 ; la démonstration ici donnée n'étant pas rigoureuse bien sûr, mais c'est juste pour faire sentir les choses !

Si on revient à la somme initiale, faire grandir N revient à ajouter de plus en plus de termes ; quand je fais tendre N vers l'infini, la somme devient infinie, et si on compile tout ce qui a été dit, on a alors

$\text{[math]}$ !! Voilà donc une somme infinie qui donne un résultat fini

Pour ce qui est de la chose que je vous ai demandé d'admettre, je ne peux pas vous en dire plus pour l'instant car je dois m'absenter quelques instants

invitee6b69a67 · 23/02/2005, 19h41

Envoyé par Coincoin

Mathématiquement : ça ne converge pas...
Physiquement : éteinte, et claquée

C vraiment pas méchant, mais je doute si les modérateurs savent lire !
ON parle dans le forum MATHÉMATIQUES ! on serais dans le forum physique, la ok, je m'incline ^^

Et je ne voit pas ce que tu veux dire BARDAMU ! sois plus clair PLZ !

PS: j'etait en train d'écrir mon message quand celui qui expliqeu convergeant est paru...Si ce n'est pas ce que je pensait DSL mais si ca veux dire que ca ne fini pas, Je maintien !..maintenan je vais LIRE !

**Coincoin** · 23/02/2005, 19h46

Supposonsque tu cours vers un mur à la vitesse de 1 m/s (euh, ok, à cette vitesse-là tu marches, mais ça simplifie la suite

).
Dans la 1ère demi-seconde, tu parcours 1/2 m.
Dans le quart de seconde suivant, tu parcours 1/4 m.
...
Question :si le mur est situé à 1m, est-ce que tu te le prends au bout d'un temps fini ou bien est-ce que tu ne l'atteindras jamais ?
On voit qu'il faudra une infinité d'étapes... c'est mal parti... MAIS d'un point de vue mathématique, une somme de trucs infinies peut être égale à un truc fini.... alors calculons : pour parcourir les $\text{[math]}$ mètres de la n^e étape, il te faut $\text{[math]}$ seconde. Et donc, le temps au bout duquel tu te prends le mur est de $\text{[math]}$ Or cette somme est strictement égal à 1. Pour parcourir 1m à la vitesse de 1 m/s, il t'a fallu une infinité d'étapes qui ont duré au total 1 seconde !
Mais il est vrai qu'à la 10^999999999999999999999999999 999999999999999999999999999999 999999999999999999999999999999 999999999999999999999999999999 999999999999999999999999999999 999999999999999999999999999999 999999999999999999999999999999 999999999999999999999999999999 999999999999999999999999999999 999999999999999999999999999999 999999999999999999999999999999 999999999999999999999999999999 999999999999999999999999999999 999999999999999999999999999999 999999999999999999999999999999 999999999999999999999999999999 999999999999999999999999999999 999999999999999999999999999999 999999999999999999999999999999 999999999999999999999999999999 999999999999999999999999999999 999999999999999999999999999999 999999999999999999999999999999 999999999999999999999999999999 999999999999999999999999999999 999999999999999999999999999999 999999999999999999999999999999 999999999999999999999999999999 999999999999999999999999999999 999999999999999999999999999999 999999999999999999999999999999 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invitee6b69a67 · 23/02/2005, 19h56

Envoyé par 09Jul85

Maintenant, il s'agit de s'interroger sur le terme (1/2)^N ; que se passe t'il quand je fais grandir N ? On se rend compte que (1/2)^N devient de plus en plus petit, et s'approche de plus en plus de 0. Quand on fait tendre N vers l'infini, on a alors mathématiquement (et rigoureusement) 0 ; la démonstration ici donnée n'étant pas rigoureuse bien sûr, mais c'est juste pour faire sentir les choses !

Alors la, comme le dirais CartMan : Ca me trou le cul !
Je ne comprend vraiment pas pourquoi (1/2)^∞=0 !
Comme tu le dis ca l'est rigoureusement mais g du mal a le croire !
Enfin, bon, si il faut se plier aux loies des Mathématiques...
Mais je quiq rigoureusement contre que (1/2)^∞=0 enfin je ne comprend pas comment on peux affirmer ca !

Mais bon, alors je me soumet A coincoin...quelle honte...snif !!
Nan je déconne !
Bon ben j'mexcuse d'être aussi têtu ! Mais je garde mon opignon personnel !

**Coincoin** · 23/02/2005, 19h59

ON parle dans le forum MATHÉMATIQUES ! on serais dans le forum physique, la ok, je m'incline ^^

Envoyé par Bardamu

le problème du physique et du mathématique,

C'est moi qui interprète mal, ou bien tu es volontairement provocateur ?
Bref, ce problème fait sans doute appel à des notions mathématiques trop compliquées pour toi, et si tu ne comprends pas, je n'y peux plus rien...

invitee6b69a67 · 23/02/2005, 20h02

Je pense que c'est a cause de ça...
Et la c'est vrais ke tu peux plus rien y faire a - ke tu me des des cours particuliers en MAth ^^
Mais c super sympa ! aller a+

invite765732342432 · 23/02/2005, 20h02

Envoyé par Youp'titou

Mais bon, alors je me soumet A coincoin...quelle honte...snif !!
Nan je déconne !
Bon ben j'mexcuse d'être aussi têtu ! Mais je garde mon opignon personnel !

J'ai peur que les maths soient à peu près le seul domaine dans lequel l'opinion personnel n'a aucune valeur...
En maths, il y a des postulats, des définitions, des démonstrations et des résultats.

L'infini est un concept difficile à manier, il est normal que tu aies des difficultés. Mais c'est ainsi qu'il fonctionne.

Pour t'en persuader, je te conseille de faire une recherche pour trouver le post dans lequel il est expliqué que 0.999999... (9 répété à l'infini) est strictement égal à 1 (sans arrondir, ni faire la moindre approximation)
0.999999... = 1

**Gwyddon** · 23/02/2005, 20h08

me voici de nouveau ici et là.

En fait, le point central qui te bloque est la définition du problème ; d'abord, $\text{[math]}$ ç'a n'existe pas. On dit que 0 est LIMITE de (1/2)^N pour N tendant vers l'infini, ce qui n'est pas la même chose.

On parle de limite, c'est-à-dire que l'on étudie le comportement de quantité lorsque on se rapproche au plus près possible de quantitée donnée : on peut parler de la limite de f(x)=x quand x tend vers 2, et heureusement pour nous cela donne 2. Mais ça ne veut pas dire que j'ai fait x=2 et f(2)=2 ; ça veut dire "plus je me rapproche de 2, plus f(x) se rapproche de 2".

On peut aussi s'interesser à f(x)=1/x (l'inverse du nombre x, par exemple f(2) = 1/2). Que se passe-t'il quand je me rapproche de 0 ? Les nombres f(x) sont de plus en plus grand. On dit donc que la limite de f(x) quand x tend vers 0 (se rapproche de 0) est l'infini. Je n'atteint pas 0 mais je m'en rapproche d'aussi près que je le veux et je me rend compte que f(x) est arbitrairement grand. Il n'existe pas de nombre aussi près de 0 que possible qui puisse empêcher f(x) de grandir plus.

MAIS l'on n'écrit pas que 1/0 = infini ! Car l'on parle de LIMITE.

Il en est de même dans notre problème : que se passe-t'il pour (1/2)^N lorsque je grandis de plus en plus ? Eh bien je me rapproche de plus en plus, autant que je le souhaite, de 0 : la limite quand N tend vers l'infini (est aussi grand que l'on souhaite) est donc 0 pour (1/2)^N

**bardamu** · 23/02/2005, 20h12

Envoyé par Youp'titou

Et je ne voit pas ce que tu veux dire BARDAMU ! sois plus clair PLZ !

Zénon parle de mouvement mais il fait comme si il y avait une infinité d'arrêts, d'étapes.

En fait, si nous sommes en mouvement, nous avons sans cesse une vitesse. Or, une vitesse c'est distance/temps.
Donc quand on divise infiniment la distance, puisque par hypothèse on a toujours une vitesse, il faut en même temps diviser infiniment le temps. En fait, on a vitesse = distance / temps = infini / infini
Il y a un être fini, la vitesse, et c'est celle-ci qui est cause de la réalité de ce qu'il se passe : Achille touche le mur. Temps et distance infiniment divisés sont alors uniquement des abstractions à partir du fait physique.

Les problèmes de Zénon posent des questions pertinentes sur le continu et le discontinu ou sur le rapport entre temps et espace.
Pour faire un rapprochement osé : d'après la Relativité d'Einstein, c'est la vitesse de la lumière qui est le point fixe autour duquel on mesure le temps et l'espace ; il y a cette vitesse limite et le temps et l'espace en sont toujours des fractions.
La meilleure approche du réel ne se ferait-elle pas par le mouvement ?

∞ !

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