convergence *-faible

rhomuald · 14/12/2008 - 20h06

Bonsoir,

Sur $E=\mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})$ , on fixe un point $x_0\in ]a,b[$ et on définit $\varphi_n\in E$ comme étant la fonction qui fait un pic triangulaire en $x_0$ prenant en ce point la valeur $n$ et nulle en dehors de $[x_0-\frac{1}{n},x_0+\frac{1}{n}]$ .

On considère ensuite $\delta_{x_0}$ , et $\phi_n\in E'$ définies par:

$\delta_{x_0}(f)=f(x_0)$ et $\phi_n(f)=\Bigint_a^b f(x) \varphi_n(x)d(x)$ .

Je voudrais montrer que les $\phi_n$ ne convergent pas par norme vers $\delta_{x_0}$ .

Merci pour vos indications.

God's Breath · 14/12/2008 - 20h38

Je considère la fonction $f_n$ définie sur $[a,b]$ par $f_n(x) = \begin{cases} 1 & \text{ si } x < x_0 \\ e^{n(x_0-x)} & \text{ si } x \ge x_0 \end{cases}$ ; cette fontion est continue et (sauf erreur de calcul) :

$\begin{align*} \phi_n(f_n) - \delta_{x_0}(f_n) &= \int_{x_0 - 1/n}^{x_0} \varphi_n(x) \,dx + \int_{x_0}^{x_0+1/n} e^{n(x_0-x)} \varphi_n(x) \,dx - 1 \\ &= \frac{1}{2} + \int_0^1 e^{-u} (1 - u) \,du - 1 \\ &= e^{-1} - \frac{1}{2} \\ &= \frac{2-e}{2e} \end{align*}$

Comme $\parallel f_n \parallel_E = 1$ , on en déduit que $\parallel \phi_n - \delta_{x_0}\parallel_{E^*} \ge \frac{e-2}{2e}$ , et $\phi_n$ ne converge pas en norme vers $\delta_{x_0}$ .

rhomuald · 14/12/2008 - 21h47

Bonsoir gb,

à quoi correspond ton $u$ ? Si je ne me suis pas trompé on a $\Bigint_{x_0}^{x_0+\frac{1}{n} } e^{n(x_0-x)}\varphi_n(x)dx = \Bigint_{x_0}^{x_0+\frac{1}{n} } -e^{n(x-x_0)}n^2(x-x_0-\frac{1}{n})dx$ ?

Sinon comment as-tu fait pour flairer un tel contre-exemple? J'ai du mal à comprendre la convergence *-faible et surtout ces $\phi_n$ .

rhomuald · 14/12/2008 - 21h56

je voulais mettre $x_0-x$ à l'exponentielle du membre de droite, bon j'ai retrouvé le changement de variable, $u(x)=-n(x_0-x)$ .

God's Breath · 14/12/2008 - 22h23

Bonsoir rhomuald,

J'ai flairé de contre-exemple par habitude, c'est toujours le même genre de fonction qui sert.

J'ai défini ma fonction différemment des deux côtés de $x_0$ , pour avoir une intégration facile à gauche de $x_0$ , et concentrer mon attention sur ce qui se passe à droite.

On a alors $\int_{x_0}^{x_0+1/n} f(x) \varphi_n(x) \,dx = \int_{x_0}^{x_0+1/n} f(x) \, n\big( 1 - n(x-x_0) \big) \,dx$ .
J'arrange mon intégrale en posant $u = n(x-x_0)$ , et j'obtiens $\int_{x_0}^{x_0+1/n} f(x) \varphi_n(x) \,dx = \int_0^1 f(x)(1-u) \,du$ .

Je vois que si j'ai choisi mon $f(x)$ de la forme $g(u)$ , alors $\int_{x_0}^{x_0+1/n} f(x) \varphi_n(x) \,dx = \int_0^1 g(u)(1-u) \,du$ est indépendant de $n$ , et j'aurai dune minoration facile de $\parallel \phi_n - \delta_{x_0} \parallel_{E^*}$ .
De plus, il faut que ma fonction $f$ soit bornée par 1, et que j'ai le raccord continu en $x_0$ avec l'autre morceau.
J'ai donc choisi $f_n(x) = e^{-u} = e^{n(x_0-x)}$ .

En fait, si on ne veut pas s'enquiquiner à séparer ce qui se passe de chaque côté de $x_0$ , il suffit de créer une situation symétrique par rapport à $x_0$ , par exemple en choisissant $f_n(x) = e^{-n|x-x_0|}$ , on aura le même raisonnement, mais avec une autre minoration de $\parallel \phi_n - \delta_{x_0} \parallel_{E^*}$ .

La convergence forte est définie par la topologie de la norme.
La suite $(\phi_n)_{n\ge0}$ converge fortement vers $\phi$ si et seulement si $(\parallel \varphi_n - \varphi \parallel_{E^*})_{n\ge0}$ converge vers 0.

On en déduit que, pour tout élément $f$ de $E$ , la suite $\big( \phi_n(f) \big)_{n\ge0}$ converge vers $\phi(f)$ puisque $|\varphi_n(f) - \varphi(f)| \le \parallel \phi_n - \delta_{x_0} \parallel_{E^*}.\parallel f \parallel_E$ .

Autrement dit, pour tout élément $f$ de $E$ , l'application $\phi \mapsto \phi(f)$ est continue sur $E^*$ . La topologie *-faible est la topologie la moins fine pour laquelle ce résultat subsiste.

Finalement, la convergence *-faible d'une suite $(\phi_n)_{n\ge0}$ de formes linéaires, c'est tout simplement la convergence simple de cette suite sur $E$ (on a bien une suites de fonctions de $E$ dans $\mathbb{R}$ ).

Dans ton cas, $E$ est un espace de fonctions continues, et $E^*$ est un espace de mesures. On essaie d'approcher la mesure de Dirac $\delta_{x_0}$ par une suite de mesures $\phi_n$ absolument continues par rapport à la mesure de Lebesgue, données par $\varphi_n(x)\,dx$ .

Une suite de fonctions en pics (triangulaires dans ton exercice) de plus en plus élevés, et de plus en plus fins, avec une intégrale totale de 1 semble être une bonne idée.
Pour la convergence simple, oui : si $f$ est une fonction continue, on a bien $\lim_{n\to\infty} \phi_n(f) = \delta_{x_0}(f)$ et on dit donc que $(\phi_n)_{n\ge0}$ converge *-faiblement vers $\delta_{x_0}$ .

Pour la convergence forte, non : on n'a pas $\lim_{n\to\infty} \parallel \phi_n - \delta_{x_0} \parallel_{E^*} = 0$ .

rhomuald · 14/12/2008 - 22h56

merci, je vois beaucoup mieux comment aborder ce genre de bête pour la convergence *-faible c'était ok,
ce qui me posait problème c'était surtout la recherche d'un contre-exemple.

J'avais pas trop vu cette histoire sous forme de mesure, il me semble avoir vu une fois que la mesure de Lebesgue était un élément d'un dual d'espace de fonctions continues, et que les éléments du dual s'appelait des mesures de Radon.

La mesure de Lebesgue ne m'a pas été présenté ainsi l'année dernière, c'était l'unique mesure faisant 1 sur [0,1] et invariante par translation si je me rappelle bien.
Quel rapport avec ce dual?

God's Breath · 15/12/2008 - 10h26

Envoyé par rhomuald

merci, je vois beaucoup mieux comment aborder ce genre de bête pour la convergence *-faible c'était ok,
ce qui me posait problème c'était surtout la recherche d'un contre-exemple.

J'avais pas trop vu cette histoire sous forme de mesure, il me semble avoir vu une fois que la mesure de Lebesgue était un élément d'un dual d'espace de fonctions continues, et que les éléments du dual s'appelait des mesures de Radon.

La mesure de Lebesgue ne m'a pas été présenté ainsi l'année dernière, c'était l'unique mesure faisant 1 sur [0,1] et invariante par translation si je me rappelle bien.
Quel rapport avec ce dual?

Quand on fait de l'intégration, on définit ce qu'est une tribu, une mesure, un espace mesurable, un espace mesuré...

On définit des mesures de Dirac, des mesures de Radon, des mesures positives, des mesures signées, des mesures boréliennes, la mesure de Lebesgue qui est l'unique mesure telle que...

On définit une mesure $\mu$ absolument continue par rapport à une mesure $\lambda$ ; il existe alors une fonction $\phi$ $\lambda$ -intégrable telle que $\mu(f) = \lambda(f\phi)$ .

Le théorème de représentation de Riesz permet de décrire le dual d'un espace de fonctions continues (sur un espace localement compact...) en termes de mesures.

Ton exercice retranscrit la convergence des mesures définie dans le cours de calcul intégral (convergence vague, faible, étroite...) dans le vocabulaire de la dualité (convergence forte, faible, *-faible), et étudie la comparaison de ces types de convergence.