Anneau des entiers d'un corps de nombres

[invite769a1844]

Bonjour,

Soit une extension finie de , et .
Je souhaite montrer les équivalences:

i) est dans l'anneau des entiers de ;

ii) le polynôme minimal de sur est à coefficients entiers,

iii) le polynôme caractéristique de est à coefficients entiers, étant le -endomorphisme qui à associe .



Pour l'implication i) => ii), c'est ok en utilisant le lemme de Gauss.

Pour l'implication ii) => ii), j'essaie de voir si on peut trouver une base de tels que la matrice de dans cette base soit à coefficients entiers, mais je ne vois pas comment montrer l'existence d'une telle base.

Pour (iii) => (i), il me semble que l'on peut montrer à l'aide de Cayley-Hamilton que le polynôme caractéristique de annule , comme ce polynôme est unitaire et à coefficients entiers, on a (i).

Merci.
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[God's Breath]

Si est degré sur , alors est une base de .
Si est une base du -espace vectoriel , alors les constituent une base du -espace vectoriel , ce qui doit te permettre de calculer le polynôme caractéristique de .

[invite769a1844]

Merci, effectivement en passant par c'est bien plus pratique

Sur , le polynôme caractéristique de et le polynôme minimal de coïncident,
d'après la formule de transitivité, le polynôme caractéristique de sur est le polynôme caractéristique de sur élevé à la puissance .
Par conséquent il vit bien dans .

[God's Breath]

Tout simplement !!!
Et ce lien entre le polynôme caractéristique de sur et le polynôme minimal de te donne aussi bien que ou que

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite769a1844]

Je vois pas comment remonter ce lien pour ce qui concerne l'implication ?

[God's Breath]

Tu as une relation de la forme entre deux polynômes.
Si est à coefficients entiers, alors aussi... et la réciproque se démontre par le lemme de Gauss.

[invite769a1844]

d'accord c'est à peu près la même recette de .

[God's Breath]

Oui.
Dans ces histoires d'extension, on reprend souvent la même idée plusieurs fois de suite, ce qui permet d'exprimer le même résultat sous des formes différentes, mais sans réel progrès dans la connaissance des extensions.
Les théorèmes importants sont souvent assez difficile à démontrer.