integrale double suite

jonh35 · 20/12/2008 - 08h52

ce ke je cvompren pa c ce ke breukin a dit il dit que on aurai pu aussi faire ds lautre sens cad que pour un x donner y varie de 0 a x si x<1 et de 0 a 2-x si x>1c ca ke je compren pa si kelkun pouvai mexpliker pk on peu faire ca ca maiderai bcp . merci davance

jonh35 · 20/12/2008 - 11h10

voila la partie ke je ne compren pa " tu peux sommer tes volumes ds lordre ke tu veux donc les sommer pour un y donner le long de laxe x(x variant de y a 2-y , si y =0 x varioe de 0 a 2 et si y =1 x varie de 1 a 1)puis sommer toutes ses sommes partielles dependant de y.on aurai pu aussi faire ds lautre sens pour un x donné y varie de 0 a x si x<1 et de 0 a 2-x si x>1."alor voila ce ke je ne comprend pas dans toute cette partie cest pk on a " pour un y donner le long de laxe x "pk le y donné est le long de laxe x .et ce ke je ne comprend pas aussi c pk kan on fait ds lotre sens pour un x donné y varie de 0 a xsi x <1 et pk aussi y varie de 0 a 2-x si x>1..c pk y varie de 0 a x si x<1 et pk y varie de 0 a 2-x si x >1.

Arkangelsk · 20/12/2008 - 11h23

Bonjour,

Tu pourrais faire l'effort de rédiger correctement tes messages. Le langage SMS est incompatible avec la charte du forum.

jonh35 · 20/12/2008 - 11h31

d'accord je suis desolé mais cette histoire d'integrale double me prend tellement la tete que j'ai pas fais attention comment j'ecrivais .peut etre que tu peux m'aider par contre

jonh35 · 20/12/2008 - 11h33

d'accord je suis desolé je ferais attention la prochaine fois.mais peut etre pourrais tu m'aider pour ce probleme

jonh35 · 20/12/2008 - 11h34

desolé j'ai ecrit deux fois le meme message

jonh35 · 20/12/2008 - 12h37

s'il vous plait quelqu'un peut il m'aider

jonh35 · 20/12/2008 - 13h13

je comprend pas pourquoi on peut dire que pour un x donné y varie de 0 à x si x<1 et de 0 à 2-x si x>1

jonh35 · 20/12/2008 - 15h12

salut flyingsquirell pourrai tu m'expliquer pourquoi on peut dire que pour un x donné y varie de 0 à x si x<1 et de 0 à 2-x si x>1 tout ça à l'aide du triangle.merci davance

invite43219988 · 20/12/2008 - 15h45

Bonjour, pas la peine de demander des réponses toute la journée, tu devrais laisser le temps aux gens de se pencher sur ton problème.

Commencons simple et prenons un exemple pour comprendre le principe d'une intégrale double.

Je veux calculer l'intégrale double de la fonction constante égale à 1 sur le carré (on le note K) de sommets A=(0,0), B=(1,0), C=(1,1), D=(0,1).
Je peux choisir arbitrairement de faire varier x, puis de donner les bornes de y pour chaque valeur de x, ou bien de faire varier y, puis de donner les bornes de x pour chaque valeur de y.
Ici ca ne change rien par symétrie du domaine en x et y mais il existe des cas où il est judicieux de faire varier une variable (on se comprend) en particulier.

Donc prends une feuille de papier, dessine ton carré dans un repère orthonormé.

Je veux calculer $\int_K 1.dxdy=\int_K dxdy$

Je vais commencer par faire varier x. Si je parcours mon domaine en entier, x varie de où à où ? La valeur minimale que peut prendre x est 0 et la valeur maximale est 1. Donc x varie de 0 à 1.
Maintenant, je dois voir pour chaque valeur de x (que je fixe donc) de où à où varie y.
Si x=0 par exemple, y varie de 0 à 1 (le segment [AB] délimite mon domaine d'intégration).
Ca reste vraie si x=1 par exemple.
En fait, c'est clairement vrai pour tout $x\in [0,1]$ .
Ainsi, la variation de y ne dépend pas de celle de x puisque pour toute valeur de x qui soit dans [0,1], y varie de 0 à 1.

Finalement je peux écrire mon intégrale :

$\int_K dxdy=\int_0^1 (\int_0^1dy) dx=\int_0^1 1 dx=1$ .
J'ai en fait simplement calculer l'aire du domaine K (c'est ce qu'on fait quand on intègre la fonction constante égale à 1).

Maintenant, si je fais varier y en premier, j'ai de même que y varie de 0 à 1 (c'est clair sur le dessin).
Et pour chaque valeur de y prise dans [0,1], x varie aussi de 0 à 1.
On a donc cette fois :
$\int_K dxdy=\int_0^1 (\int_0^1 dx) dy=1$ .
On trouve le même résultat.

Un exemple "un peu" plus compliqué maintenant :
On intègre sur le domaine P suivant :
Sommets : A=(0,0), B=(0,1), C=(1,0).
C'est donc un triangle.
Le segment "penché" sur ton dessin est porté par la droite d'équation y=-x+1.

On intègre la fonction constante égale à 1 :

Je fais varier en premier x par exemple.
x varie de 0 à 1 (0 et 1 sont respectivement les valeurs minimale et maximale que peut prendre l'abscisse d'un point du domaine de définition).
Maintenant, on a une différence avec le cas précédent car si je fixe x à 0, y varie de 0 à 1 tandis que si x vaut 1, y vaut nécessairement 0.
Pour x=1/2 par exemple, y vaut 1/2. L'idée est de trouver la valeur de y pour chaque valeur de x, donc de trouver une expression de y en fonction de x.
Or pour chaque x, la valeur minimale de y est 0 mais la valeur maximale est... : 1-x=-x+1 puisque la valeur max de y est celle qui se lit sur le "segment penché" [BC] qui est porté par la droite d'équation y=-x+1.
On peut alors écrire :

$\int_D dxdy=\int_0^1 (\int_0^{1-x}dy)dx=\int_0^1 (1-x) dx=[-\frac{1}{2}(1-x)^2]_0^1=\frac{1}{2}$ qui est encore une fois bien heureusement l'aire du domaine de définition.
Essaie toi même de refaire le calcul en faisant varier y en premier (ça ne change quasiment rien), puis d'adapter le raisonnement à ton problème...

jonh35 · 20/12/2008 - 17h21

merci ganash jai tout compris grace au petits dessins que tu ma demander de faire.et dsl pour avoir demander preske toute la journée .merci bcp.joyeuses fetes de fin d'années a tous