équivalent
Bonjour!
Bonsoir!
Soit (u_n) une suite définie implicitement. c'est la solution de l'équation x exp(x) -n =o .On sait que pour tt n sup à 3, u_n et compris entre 1 et ln(n). On sait aussi que ln(u_n) + u_n =ln(n). Grace à ça on a montré que u_n est equivalent à ln(n) en plus l'infini.
Mais je n'arrive pas à trouver un équivalent simple de u_n - ln(n) en plus l'infini. Comment puis je faire?
Merci par avance
Euh, et bien, u_n - ln(n) = -ln(u_n) , non?
Donc c'est équivalent à -ln(ln(n))
Oui je suis d'accord. Mais je pense que je vais poser l'éternelle question sur les équivalens... ai je le droit de composer?
Alors de manière générale, non.
Par exemple x est équivalent à x+1 en +oo, mais exp(x) n'est pas équivalent à exp(x+1)=e*exp(x).
Par contre, dans le cas du logarithme, si u est équivalent à v, et si u (et donc v) a une limite qui est +oo ou une limite réelle >0, alors on peut composer, et ln(u) équivaut à ln(v).
En effet, u/v ->1, donc ln(u)-ln(v) ->0, donc, en divisant par ln(v) qui a une limite réelle ou +oo, on a
ln(u)/ln(v) -1 -> 0, d'où ln(u) équivaut à ln(v).
Là on est bien dans un cas où on peut composer l'équivalence par le logarithme (u_n a une limite +oo)
pardon, il faut lire : on peut composer par ln si u a une limite infinie ou réelle différente de 1 !
Note que quand u a une limité égale à 1, ça ne marche pas :
1 équivaut à 1+1/x
mais ln(1)=0 n'est pas équivalent à ln(1+1/x) ~ 1/x
