bonjour à tous,
j'ai un petit problème avec une EDP classique :
d²(u(x,t))/dt²=a²*d²(u(x,t))/dx² (equation des ondes avec a réél fixé, x réel et t strictement positif)
je connais la forme générale des solutions : u(x,t)=h(a*t+x)+g(a*t-x)
mais il y a deux conditions initiales : u(x,0)=f(x) (f fonction connue) et d(u(x,0))/dt = 0
je dois donc trouver u(x,t) solution..
je n'arrive pas trop à bien me servir des CI pour répondre à la question..
Merci d'avance pour vos réponses
Bonjour,
Tu as, donc
Les conditions initiales sont
Cette dernière condition fournit, par intégration,
La solution est donc
Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.
Bonsoir:
Il y a une autre possibilité ( methode de Bernouilli) a savoir chercher si elle existe une solution tel que : u(x,t) = f(x).g(t)
donc notre équation : d²(u(x,t))/dt²=a²*d²(u(x,t))/dx² devient
f(x).g°°(t) = a².g(t).f ''(x).......-e-
avec g°(t) = dg(t)/dt et f '(x) = df(x)/dx
donc -e- devient : a².f ''(x)/f (x) = g°°(t)/g(t)
on a deux membres qui sont égales quelque soient x et t donc les deux membres sont constants puisque le premier depend que de x et le second depend que de t.
on doit avoir donc: a².f ''(x)/f (x) = g°°(t)/g(t) = constante = - W²
donc un systeme d'equations:
1- g°°(t) + W².g(t) = 0 donc g(t) = A.sin(W.t) +B.cos(W.t)
Rq si on prend la constante positive g(t) = A.exp(W.t) + B.exp(-W.t) ne sera pas bornée et donc c'est une eventualité a rejeter
2- f ''(x) + [W/a]²f (x) =0
donc : f(x) = C.sin[(W/a).x] + D.cos[(W/a).x]
Conditions initiales:
C1 : d(u(x,0))/dt = 0 donc : f(x).g°(0) =0 ce qui donne g°(0)=0
Or : g°(t) = A.W.cos(W.t) - B.W.sin(W.t)
g°(0)=0 implique A =0
Donc g(t) devient : g(t) = B.cos(W.t)
et u(x,t) = f(x).cos(W.t) avec les constantes C' = C.B et D' = D.B
Donc la nouvelle expression de f(x) = C'.sin[(W/a).x] + D'.cos[(W/a).x]
C2 :u(x,0)=f(x) implique g(0) = 1 ce qu'est verifier puisque cos(0) =1
Rq : pour determiner les constantes C' et D' il faut imposer des condition aux limites ( des conditions dans l'espace)
la solution peut exister sous cette forme en attendant de voir si elle verifier les condition aux limites:
u(x,t) = f(x).cos(W.t) = {C'.sin[(W/a).x] + D'.cos[(W/a).x]}.cos(W.t)
merci beaucoup !!
