Plop,
Voilà le système que j'ai trouvé et que j'essaye de résoudre depuis un petit moment:
x + y + z = 2
x^2 + y^2 + z^2 = 14
x^3 + y^3 + z^3 = 20
J'ai tenté en mettant la première ligne au carré puis au cube, on a alors les lignes 2 et 3 qui apparaissent mais ça reste sans succès... y'a-t-il un moyen en jouant sur des polynômes? du style aX^3+bX^2+cX+d avec b=-2 si x , y , z sont racines...? enfin justement j'vois pas si c'est le cas, peut-être autrement...?
Cordialement, Universmaster.
Salut à toi ! (content de te revoir)
Je me dirigerais aussi naturellement vers les polynômes en voyant ce genre de système (il me semble en avoir déjà résolu..).
La première équation au carré te fournit xy+yz=zx=-5=c semblerait-il.
Peut-être que d'autres manip du même genre t'aideront à trouver xyz=-d (la première équation au cube est embêtante, du fait des termes x²y+x²z), à travailler..
Cordialement,
François
lol, ça faisait un bout de temps que j'étais pas venu sur FS, par contre toi j'vois que t'es toujours présent ^^
Eh oui première année en maths supp faut bosser, et j'ai pas internet à l'appart' (c'est peut-être mieux comme ça)
Ouais donc pour l'instant on a deux coeffs du polynôme, j'vais essayer de trouver xyz, mais à mon avis mettre le premier au cube est inévitable, car sinon comment faire apparaître a^3 etc... (et comme dirait mon prof de maths, si on nous donne cette équation, c'est pas pour rien ds un exercice)
J'donne des news si j'y arrive, +++
x+y+z=2
xy+yz+xz=-5
xyz=-16/3
Ce qui donne un polynôme avec des racines atroce (cf Maple)... je sais pas comment résoudre car pas de racine évidente, et on va quand même pas utiliser Cardan... ni autre méthode du genre
Tu as résolu le système initial avec maple?
Erf nan et avec Maple il trouve simplement 1,2,3 avec + ou - devant les coeffs... :s
Ok un signe moins avalé par un égale fait dans la précipitation, les solutions sont 1,-2,3 avec des moins et toutes les combinaisons possibles pour x,y,z ^^
Oui, c'est bien ce que donne ma TI.Envoyé par Universmaster
Tu as réussi à trouver ce que vaut le produit xyz ?
Tu as:
(x+y+z)^3=20+ 3 (x²y+x²z+y²x+y²z+z²x+z²y) + 6xyz=2^8=8
Or, tu remarques que :
(xy+yz+xz)(x+y+z)=(x²y+x²z+y²x +y²z+z²x+z²y) + 3xyz
Tu as donc bien tous les éléments pour trouver xyz
Oui, faut mettre la première au cube, puis on peut donc éliminer les cube, ensuite y'a des x^2 *y+x^2 * z (pareil en permutant x y z) donc on peut factoriser par x (resp. y et z) et on remplace à chaque fois xz+xy=-5-yz etc... ce qui fait apparaître des xyz, ce qui nous intéresse...
Une autre méthode, un peu moins calculatoire (?) :
La première équation me donne x+y=2-z; j'appelle s=x+y, donc s=2-z, et s²=(2-z)²
En appelant p = xy, on a avec la deuxième équation s²-2p=x²+y²=14-z², d'où p en fonction de z;
Enfin on écrit s3-3sp=x3+y3=20-z3
On aboutit à une équation du 3eme degré en z, avec des racines évidentes.
Puis on fait des permutations circulaires
