Espaces homeomorphiques

[invite947ee6e5]

Bonjour,

Je dois montrer que les ensembles suivants sont homéomorphiques.
L'indice est que je dois/peux utiliser le résultat suivant :
Si f:X -> Y est une fonction continue et bijective entre un espace X compact et un espace Y Hausdorff ; alors f est un homéomorphisme.
Tous les espaces suivants, sont assumés Hausdorff.

- Esp 1 : S¹xS¹ où S¹ est le cercle unité dans R²
- Esp 2 : R²/Z² : espace quotient défini par la relation d'équivalence (x,y) ~ (x',y') ssi (x-x' ; y-y') est dans Z²
- Esp 3 : [R x R\{0}] / ~ : espace quotient défini par la relation d'équivalence (x,y) ~ (2ⁿ.x ; 2ⁿ.y) pour n entier.
- Esp 4 : [0,1]²/ ~ : espace quotient défini par la relation d'équivalence (x, 0)~(x;1) pour tout x dans [0,1] et (0,y)~(1,y) pour tout x dans [0,1].

Mon probleme est que je ne visualise pas assez les espaces pour trouver les fonctions f, dont il me faudra ensuite prouver qu'il s'agit d'homeomorphismes.

Des idées ?
Merci.
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[invite4ef352d8]

Salut !

une petite remarque sur le vocabulaire :
on ne ditpas "Homéomorphique" mais "Homéomorphe".
et "assumés Haussdorf" c'est une traduction literale de l'anglais, en francais on dit "supposés séparés" plutot ^^


Pour revenir à ton exo, est tu déja convaincu que tous les espace considéré sont compact ?
si ce n'est pas le cas, il faudrait que tu précise un peu le cadre dans lequel tu travaille (topologie métrique, topologié général, comment tu définit la compacité et...)


Sinon, tu devrait commencer par réfléchir au espace 1 et 2, c'est clairement les plus simple, et si tu n'arrive vraiment pas à trouver d'application continue entre ces espace examine le cas plus simple R/Z -> S1...

[invite947ee6e5]

Salut,

D'abord, l'exercice m'a effectivement été donné en anglais,donc désolé pour la traduction un peu trop littérale - en particulier de "homeomorphic"...
Ensuite, les espaces sont supposés compacts dans les hypothèses, et aucune topologie n'est définie sur ces ensembles, donc je suppose qu'il s'agit de la topologie quotient.

Ensuite, pour R/Z ->S1, je ne vois pas.
Je prends x dans R/Z - donc, suppose x dans [0,1] est la classe d'équivalence et rassemble en fait tous les réels qui diffèrent de x par un entier.
Et je dois construire une fonction f qui envoie x sur y, tel que x²+y²=1...
C'est ça ?