Exercice algèbre linéaire : droite stable, plan stable.

[Guillaume69]

Bonsoir

Pouvez vous me dire si la question c/ de mon exercice est bien traitée ?

Enoncé :
Soit un -e-v de dimension 3 et de base et l'endomorphisme de matrice :
3 1 -1
1 1 1
2 0 2
a. Montrer que pour tout , et sont stables par
b.Trouver les éléments propres de f.
c. montrer que f admet un seul plan stable et une seule droite stable.

b/ La valeur propre 2. le vecteur propre de coordonnées (0 1 1).
c/
est une droite stable par d'après a/ et , c'est une droite stable. On note son vecteur de base.
Cette droite est elle unique ?
On raisonne par l'absurde en supposant l'existence de , droite stable dont on note le vecteur de base.

2 étant la seule valeure propre de , .

Soit , Donc

Pour le plan stable : est stable par d'après a/ , c'est un plan stable.
Pour le montrer, on commence par considérer un plan P supposé stable, d'équation ax+by+cz=0... Pourtant, l'équation d'un plan c'est ax+bz+cz+d=0. Pourquoi d=0 ?
Je n'écris pas la suite que j'ai comprise.
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[Thorin]

Un plan VECTORIEL est d'équation ax+by+cz=0 !

Pourquoi ? car on veut que ce soit un sous espace vectoriel, il doit donc contenir le vecteur nul.
Et très clairement, si le plan est d'équation ax+by+cz+d=0, le vecteur nul n'appartient pas au plan.

[Guillaume69]

Ne t'exclame pas, ces notions sont hors programme chez nous, la définition était donné dans l'exercice mais pas l'équation

Merci bien