revêtement d'un espace localement connexe par arcs

[invite769a1844]

Bonjour,

Je ne vois pas comment montrer la proposition suivante:

Si est un revêtement de l'espace localement connexe par arcs , alors est localement connexe par arcs.

Merci pour vos indications.
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[invite642cafc1]

Soit x dans E, il existe un ouvert U de p(x) dans B tel que p^-1(U)=union disjointe d'ouverts V_i de E tels que la restriction de p à un V_i est un homéomorphisme de V_i sur U. Comme x est dans p^-1(U), x est dans un des V_i que l'on peut noter V.
Ceci étant fait il suffit de montrer :
1) U est localement connexe par arcs (ce qui est une conséquence directe de la définition de localement connexe par arcs et du fait que U est ouvert)
2) la propriété d'être localement connexe par arcs se transporte par homéomorphisme (entre U et V) (évident)
3) s'il existe un voisinage ouvert d'un point localement connexe pour tout point d'un espace E alors E est localement connexe par arcs (pas très difficile non plus).

[invite769a1844]

ok, c'est bien clair maintenant.
Merci gyu.