Fonction et polynôme

[inviteb64a2f8e]

Bonsoir à tous !

Voilà je bloque de nouveau sur un petit exercice de résolution d'une équation fonctionnelle à inconnue polynôme. Je vous serais reconnaissant de me donner quelques pistes.

Le but de l'exercice est :

Pour , trouver les polynômes de tels que

1) Déterminer les polynômes constants vérifiant

=> J'ai posé mais je ne sais pas si je dois continuer en disant "donc aussi" ou si je dois dire "et ". Je suis censé trouver un condition sur non ?

2) Soit vérifiant . Déterminer le degrés de

=> J'ai "envie" de dire que le degrés de est mais je ne sais pas comment le rédiger proprement.

3) On considère . Déterminer les polynômes solutions de

=> J'ai pensé à une méthode d'Analyse/Synthèse. Mais je ne vois pas trop comment démarrer.

4) Soit vérifiant . On pose avec , . Puis on pose de telle sorte que
Montrer alors que est solution de



Voilà voilà je vous serais très reconnaissant de m'aider parce que ça ne me rassure pas trop tout ça en vue du concours blanc...

Merci beaucoup !

ZimbAbwé.
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[sadben2004]

Pour le 1)

Si P(X) est un polynôme constant égale à a , l'application correspondante est :
p : x -> a

P(X^2) correspond à l'application p composée avec l'application x -> x^2.

: x -> x^2 -> p(x^2) = a

Donc P(X^2) est aussi le polynôme constant a.

On remplace après dans En pour avoir les a possible.

Pour 2) n est un nombre fixé, on cherche le degres de P, on l'appelle m (a priori, rien ne nous dit que c'est la même chose que n)
D'abord, il faut trouver le degrés de P(X^2) en fonction de m, ainsi que celui de (X^n + 1)P(X)

On utilise En en disant que c'est deux degrés doivent être les mêmes. Ça donnera une relation pour m et donc les valeurs possible pour m.

[thepasboss]

Bonsoir,

1) Tu peux dire "P(X²) = a" mais une simple considération sur le degré de chacun des termes tu peux conclure ^^ (C n'a pas de diviseur de zéro )

2) Ecrit P sous la forme d'une somme de a(k)*X^k pour k variant de 0 à deg(P) et ensuite, Comme les deux polynômes doivent être de même degré pour être égaux tu aura une petite relation toute bête ^^

3) Pose P = aX² + bX + c , ça devrait suffire ^^

4) pour aller de la gauche vers la droite il suffit de raisonner par l'absurde. Suppose R non nul et utilise le fait que P vérifie l'équation En. Tu devrais alors arriver au fait que R vérifie l'équation En, et est donc de degré n, et donc que Q est de degré n ce qui est faux ^^
L'autre implication est juste une vérification.

[Forhaia]

Re-bonsoir,

2. Attention à ne pas oublier un cas particulier

3. D'après la question 2 quel est le degré des P solutions ?
Tu prends alors un tel polynôme et cherche quelles relations vérifient ses coefficients.

4. La réciproque est simple.
Pour le sens direct, pour P solution,
remplace l'expression de P dans l'équation, simplifie un peu. Que peut-on dire de R?

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteb64a2f8e]

Pour le 1)

Si P(X) est un polynôme constant égale à a , l'application correspondante est :
p : x -> a

P(X^2) correspond à l'application p composée avec l'application x -> x^2.

: x -> x^2 -> p(x^2) = a

Donc P(X^2) est aussi le polynôme constant a.

On remplace après dans En pour avoir les a possible.

C'est comme ça que j'avais commencé mais je tombe sur :
d'où et donc je tombe sur ou . Ca me parait étrange, non ?

Pour 2) n est un nombre fixé, on cherche le degres de P, on l'appelle m (a priori, rien ne nous dit que c'est la même chose que n)
D'abord, il faut trouver le degrés de P(X^2) en fonction de m, ainsi que celui de (X^n + 1)P(X)

On utilise En en disant que c'est deux degrés doivent être les mêmes. Ça donnera une relation pour m et donc les valeurs possible pour m.

Donc on pose . On a donc . Donc d° et d°
D'où, d°d° d° et donc et finalment . C'est bon comme ça ?

Et sinon pour les 2 autres questions, ça serait vraiment sympa aussi de me donner un petit coup de main.

Merci beaucoup !

[inviteb64a2f8e]

Pour la 3) :

D'après la question 2), on a et donc en remplaçant dans :

d'où et donc par identification des coefficients, , et .

Ensuite je dois vérifier dans la synthèse ?

[Forhaia]

Pour la 1, oui c'est bon,

pour la 2, attention au polynôme nul

pour la 3, oui il faut faire une synthèse.

[inviteb64a2f8e]

Merci !

Pour la 4) :

J'ai fait comme vous m'aviez conseillé et, en supposant non nul, j'arrive bien à et donc d°, ce qui est contradictoire.

Et c'est vrai que la vérification est toute simple.

Merci beaucoup à tous pour votre aide très précieuse !

ZimbAbwé.

[Forhaia]

Oui c'est bien ça pour la 4,
mais pas besoin de passer par l'absurde:

On a R dans de degré strictement inférieur à n,
donc par la question 2, R est nul.