Puissance réelle d'un nombre complexe.

invite43219988 · 01/04/2009 - 18h44

Bonjour,
pour une détermination continue disons L du logarithme, on peut définir :

$z^{\alpha}=e^{\alpha L(z)}$
Je me prends simplement la tête sur le fait que dans le cas général,
$(e^z)^{\alpha} \neq e^{\alpha z}$ pour $z$ complexe et $\alpha$ réel.
Comment se fait-il donc que par cette définition,
$z=(z^{\alpha})^{ \frac{1}{\alpha} }=(e^{\alpha L(z)})^{\frac{1}{\alpha}}=e^{L (z)}$

Merci.

slimovic · 02/04/2009 - 23h53

Bonjour,
pour ce problème il ne faut pas prendre en compte que (1/alpha) est une puissance de L(z) mais c'est une puissance de de (exp(alpha*L(z)))
c'est à dire, par exemple, que:
(2^3)^4=2^12
donc pour ici, il faudrait multiplier (1/alpha) et (alpha)

J'espère que j'ai répondu clairement à ta question

invite43219988 · 03/04/2009 - 12h51

Bonjour,
je pense que tu ne vois pas bien ce que je veux dire.
Dans ton exemple, tu ne fais intervenir que des entiers.
La formule $(e^a)^b=e^{ab}$ est vraie a priori pour a et b entiers (et même réels).
Par contre, lorsque a est complexe et b est réel, elle est fausse en général sans quoi on a une magnifique démonstration complètement fausse : $e^{i}=e^{ \frac{2i\pi }{2\pi }}=(e^{2i\pi })^{\frac{1}{2\pi}}=1$ .
Mais en fait je vois où est mon erreur.
On n'a pas en général $(z^{\alpha})^{\frac{1}{\alpha} }=z$ pour $z$ complexe...
Merci quand même pour ton aide.