cours sur la différentielle totale

acx01b · 04/04/2009 - 11h13

Bonjour,

j'aurais besoin d'en connaître un peu plus sur la formule de la différentielle totale :

$f :\ \mathbb{R}^n \right \mathbb{R}\ \ <br /> df = \sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i} d x_i$

ce qui permet d'écrire, si X est paramétré par t, que la dérivée de f(X(t)) vaut:

$\frac {df}{dt} = \sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i} \frac{dx_i}{dt} = \nabla f\ \cdot\ X'(t)$

dans quels cas peut-on écrire ça ? (X(t) et f(X) sont de classe C^inf...)
comment le démontrer un peu rigoureusement ? etc ...

merci

acx01b · 04/04/2009 - 16h47

c'est pas facile de trouver une explication rigoureuse mais je crois que j'ai compris :
en fait on fait en quelque sorte un développement limité à l'ordre 1 de f,
qui existe si le gradient est continu

Hamb · 04/04/2009 - 20h58

Rigoureusement je crois que ta 2e égalité découle de la formule de composition des différentielles, dont tu peux trouver une démonstration a peu près n'importe ou je pense.
Pour ce qui est des conditions d'applications, je dirais X dérivable et f différentiable.