la tribue engendrée par..

[invite83c1e388]

bonjour svp je me suis bloquée
j'ai un ensemble X n'est pas dénombrable et F la tribu engendrée par les singletons de X.
j'ai deja montrer que A appartient a F ssi A ou A complementaire et denombrable
en suite on a supposé pour tt x appartient a IR,f^-1({x}) est denombrable, montrer que f(X) n'est pas denombrable pour repondre a cette question j'ai procédé de cette maniere:
j'ai utilisé la reponse de la question precedente: f(X) n'est pas denombrable ssi f(X) n'appartient pas a F donc X n'appartient pa a f^-1(F)= sigma(f^-1({x})) et puisque f^-1({x}) est denombrable alors la tribu engendré par les images reciproque des singletons est denombrable et par suite X ne peut pas appartient a qlq chose denombrable car on l'a supposé nn denombrable.est ce que c'est juste??
en deduire qu'il existe un intervalle compact I de IR / l'intersection de I avec f(X) soit non denombrable?? ici je me ss bloqué
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[God's Breath]

j'ai utilisé la reponse de la question precedente: f(X) n'est pas denombrable ssi f(X) n'appartient pas a F

C'est faux : peut appartenir à sans être dénombrable, il suffit que son complémentaire soit dénombrable.

Il faut utiliser que les constituent une partition de .

[invite986312212]

salut,

f est une application de X dans R donc f(X) n'a pas être élément de F qui est une tribu sur X, et ton raisonnement est faux.
De plus le complémentaire d'une partie dénombrable de X n'est pas dénombrable, puisque X ne l'est pas ,donc ton raisonnement est doublement faux.

pour la dernière question tu peux utiliser le fait que R est "sigma-compact" comme on dit, c'est-à-dire réunion denombrable de compacts (par exemple les intervalles [n,n+2] n dans Z, ou encore les intervalles [-n,n] etc.