algebre lineaire

[invite26cb47bb]

Salut

J'aimerai savoir si vous aviez une methode rapide et efficace pour determiner l'inverse d'une matrice.
J'ai qu'il y avait une methode utilisant le determinant et tout un tas de notions que je n'ai pas encore.

Je crois savoir qu'il y a une methode qui consiste tout d'abord a echelonner un systeme.
J'ai essaye cette methode avec cette matrice: il s'agit de la matrice de passage de la base canonique de R4 a la base de R4:
(-2,6,-2,1),(3,-4,4,-1),(8,5,-2,3),(2,2,-1,1)

la matrice en question est donc
[-2 3 8 2]
[ 6 -4 5 2]
[-2 4 -2 -1]
[ 1 -1 3 1]

(on est d'accord??^^)

J'ai donc essaye la methode qui consiste a resoudre AX=Y
avec X=(x y z t ) inconnues et y=(a b c d ) fixée

mais cela ne m'a mene a rien

plz help me
explique moi aussi est surtout la methode plz

d'avance merci
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[Guillaume69]

Bonsoir,

La méthode me semble correcte. Mais toutes les matrices ne sont pas inversibles (si le determinant est nul, elle n'est pas inversible). C'est peut-être pour cela que tu n'as pas aboutti.

[sylvainc2]

La matrice que tu as donné est la matrice de passage de l'autre base vers la base canonique, et non pas celle de passage de la base canonique vers l'autre base, comme tu l'as mentionné.

Ensuite, pour calculer l'inverse on peut utiliser la méthode de Gauss-Jordan.
Normalement, quand on fait un pivot de Gauss sur une matrice A pour la transformer en une matrice triangulaire supérieure U, chaque opération élémentaire peut être écrite sous forme de matrice, et toutes ces opérations sont le produit de toutes ces matrices, appellons-la G. Alors ce pivot peut s'écrire sous forme: GA = U

Maintenant, dans la méthode Gauss-Jordan, on transforme plutot A en matrice identité (pas triangulaire supérieure) ou si on veut, on la met à la forme échelon réduite. On applique aussi les mêmes opérations à la partie augmentée qui contient l'identité, le résultat est l'inverse de A. Sous forme de matrice ca s'écrit comme ceci: G [A|I] = [I|K], où [A|I] est la matrice A augmentée de l'identité à droite, et [I|K] est l'identité augmentée d'une matrice K. Une matrice augmentée est une matrice par blocs alors le produit s'écrit: GA = I et GI = K, Mais si GA=I c'est que G est l'inverse de A, et si GI=K c'est que K=G donc on voit bien que Gauss-Jordan permet effectivement de calculer l'inverse de A qui est K dans cette notation.

Pour le détail de l'algo, il s'agit de faire les opérations pour transformer A en matrice identité, et de faire les mêmes opérations sur I pour obtenir l'inverse.