série entière et critère de d'Alembert

[Bruno0693]

Bonjour,



Soit une série entière de rayon de convergence . ()

Je trouve écrit, dans mon cours d'analyse complexe :

Le critère de d'Alembert montre que la série converge absolument en tout point z du disque ouvert .


Je sais montrer, autrement, qu'une série entière et sa série dérivée ont même rayon de convergence.

Pourriez-vous m'expliquer en détail, ici, comment on applique le critère de d'Alembert pour montrer que le rayon de convergence de la série est ?

Merci d'avance pour vos réponses.
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[invitef75e4a38]

Haileau

Le critère de d'Alembert nous assure que le rayon de convergence d'une série entière est égale à l'inverse de la limite de a_(n+1)/a_n

Suffit de calculer le rapport de la série dérivée :
(n+1).a_(n+1) / n.a_n qui tend bien vers la même limite que a_(n+1)/a_n

[Bruno0693]

Merci beaucoup pour ta réponse.

En fait, ça répond à une question que je me posais à propos de ce critère :

Soit une série entière.

Le critère de d'Alembert nous dit que si : tend vers une limite , alors le rayon de convergence de la série est :

"Réciproquement", si j'ai bien compris, si on nous donne une série entière dont on nous dit que le rayon de convergence est , alors on est sûr que :

?

C'est bien ça ?

[invitef75e4a38]

Reuh
Hé bien en fait, ça n'a pas vraiment de "réciproque" ou "d'implication"
Un critère, c'est un moyen pour calculer une certaine chose.
Donc bon la "réciproque" comme tu dis, est forcément vraie.

Par contre, il faut absolument que ce doit deux termes consécutifs.
Ce critère ne s'applique donc pas aux séries du genre a_n.z^(2n)

[A voir en vidéo sur Futura]

[Bruno0693]

Ok. Merci pour la réponse

Juste un dernier truc : le prof écrit qu'en utilisant le critère de d'Alembert on est sûr que la série converge absolument sur D(0,R).

J'ai maintenant bien compris comment on utilisait le critère de d'Alembert pour voir que cette série converge sur D(0,R). Mais qu'est-ce qui nous dit que la convergence est absolue ??

[invite769a1844]

Salut,

pour une série entière, il y a équivalence entre convergence et convergence absolue.

[Bruno0693]

Salut,

pour une série entière, il y a équivalence entre convergence et convergence absolue.

Euh... c'est sûr ? Si oui, on le montre comment ?

Soit une série entière. Soit , d'après ce que tu dis on a :

converge converge

Pourtant, si je considère la série entière :



Ca ne marche pas pour z_0 = 1...

[invite899aa2b3]

Bonsoir.
La série entière que tu proposes a pour rayon de convergence 1:rhomuald voulait sans doute dire à l'intérieur du disque de convergence.