équation d'évolution.

[invitee77bd614]

Bonjour,

Je suis à la recherche d'un raisonnement permettant de répondre à la question suivante:

∂_t z - ∆ z = f (x,z), x ∈Rⁿ
z (0,x)=A (A une constante positive).


On sait que f(x,A) < 0 pour tout x∈Rⁿ

Prouver que z(t,x) est décroissante.

Bien sûr, je vois pourquoi ∂_tz(0,x)<0 pour tout x. Mais je ne comprends pas pourquoi cette propriété est conservée au cours du temps.

Est-ce qu'une âme charitable pourrait m'éclairer?

Merci par avance.
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[invitee77bd614]

Bonjour,

Je vais vous donner une autre question qui me parait identique, mais qui me semble plus simple et précise.

Si on a f(s) une fonction continue telle que
f(s) <0 sur ]-∞,0[
f(s) >0 sur ]0;1[
f(s) <0 sur ]1;+∞[

Et l'équation d'évolution suivante:

∂t z - ∆ z = f (z), x ∈Rn
z (0,x)= z°

avec 0≤z°≤1, z° continue à support compact.

Alors, t -> z(t,x) est croissante pour tout x € Rⁿ.

Quelqu'un saurait-il démontrer cela?

Merci par avance.

[KerLannais]

Slt,

Pour ta deuxième question, je saurais montrer sans trop de difficulter que pour tout temps on a . Par contre il est facile de construire continue à support compact telle que



Ainsi, comme par continuité de on a

et donc je crois que ta conjecture est fausse