Aide pour montrer qu'une somme converge

[invite1ae7157f]

Bonjour,
J'aurais besoins d'aide pour une question de mon DM de maths, niveau PCSI


Alors l'énoncé nous introduit la suite

On doit donc montrer que puis que

Ensuite qu'il existe no tel que pour tout n≥no -1/n^2 ≤ ln(Un+1/Un) ≤ 0

Enfin je dois vérifier que pour k>1 1/k^2 ≤ 1/k-1 - 1/k


Bref, j'ai fait tout ça sans trop de soucis.
Mais je bloque à la question qui suit:

Soit (Vn) la suite définie pour tout entier n>1 par .
Montrer que la suite Vn est bornée...


On montre facilement qu'elle est majorée mais je n'arrive pas à montrer qu'elle est minorée.
J'ai trouvé que Vn s'exprimait comme ln (Un/U2) ce qui m'avance à rien...
Sinon j'ai pensé au sommes de Riemann mais je n'arrive pas à la utiliser ici... :s
De plus je suppose que je dois utiliser la relation démontrée à la question juste avant: 1/k^2 ≤ 1/k-1 - 1/k mais je vois pas du tout où elle intervient.

Voilà, merci d'avance pour votre aide

PS: Le but de l'exercice est ensuite d'en déduire que Un est bornée, et déterminer le majorant et en déduire la formule de Stirling
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[KerLannais]

Salut,

C'est le critère de Riemann qu'il faut utiliser et je ne voit pas ce qui t'en empèche. Si c'est un problème de signe, tu peux tirer du DL du terme général qu'il sera de signe constant (négatif) à partir d'un certain rang. Tu minore ta somme jusqu'à n-1 par la somme j'usqu'à l'infini puisque par critère de Riemann elle converge son terme général étant en 1/n².

[invite1ae7157f]

Le critère de Riemann ? Jamais vu

[KerLannais]

Re,

C'est que j'ai pensé après vu qu'il y avait une question pour montrer que
(1)
question qui est inutile quand on connaît le critère de Riemann. Il faut que tu obtienne une minoration de la forme

avec une constante à partir du DL, cette minoration peut n'être valable qu'à partir d'un certain rang c'est pas grave. Ensuite montre à partir de (1) que pour tout :

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite1ae7157f]

Il faut que tu obtienne une minoration de la forme

avec une constante à partir du DL, cette minoration peut n'être valable qu'à partir d'un certain rang c'est pas grave.

C'est ce qui est fait dans la question 2) : il existe no tel que pour tout n≥no -1/n^2 ≤ ln(Un+1/Un) ≤ 0
Donc on prend C=1.

Ensuite montre à partir de (1) que pour tout :

Ce que je ne comprends pas très bien c'est qu'on montre qu'à partir du rang no, 0 ≥ ln (Un+1/Un) ≥ -1/k^2 et ensuite que la somme -1/k^2 est minorée par -1 et donc la somme des ln aussi.

Mais ceci ne s'applique qu'à partir du moment ou ln (Un+1/Un) ≥ -1/k^2 c'est à dire au rang no donc qu'est ce que je fais des premiers termes de la suite ? :S

[Thorin]

Je n'ai lu que ta dernière phrase, mais si ce que tu y dis est juste, alors, je te signale que les premiers termes, on s'en balance : si la suite est bornée à partir d'un certain rang n, elle est bornée tout court, il suffit de prendre comme minorant ou majorant le min ou le max des termes qui sont avant n, et le minorant de ceux qui sont après.

[invite1ae7157f]

C'est pas faux, j'avais oublié de prendre en compte qu'on travaillait sur des suites

En tout cas merci