Besoin d'aide sur le chaos !

invitebf1b2f4b · 07/04/2005, 14h32

Bonjour à tous !
J'aurai besoin d'aide dans la compréhension de certain termes situés sur cette courte page : http://www.bibmath.net/dico/index.ph...eigenbaum.html

Qu'est ce qu'une suite convergente ?
Qu'est qu'un cycle ?
Que signifie exactement ordre d'un cycle ?

Remarquez mon plus gros soucis est que je ne comprends pas très bien ce qui est mis en ordonnée sur le schéma...

Pouvez vous m'aider ?

**zoup1** · 07/04/2005, 21h06

Envoyé par Xerthro

Qu'est ce qu'une suite convergente ?

Une suite c'est une suite de nombres ordonnées. que l'on nomme souvent u avec une indice n qui vaut 1,2, 3 ... $\text{[math]}$ . Donc, on forme une suite avec les nombres $\text{[math]}$ . Ces nombres peuvent être n'importe quoi... alors cela définie une suite n'importe comment. Pour construire, une suite souvent on le fait par récurence c'est à dire que l'on définie un terme en fonction des termes pécédents, par exemple dans le texte, on définie le n+1 ème terme à partir du n ème terme ; $\text{[math]}$ ou encore $\text{[math]}$ où p est un paramètre que l'on choisit entre 0 et 4.

Une suite est convergente, lorsque quand n tend vers l'inifini, la suite converge vers une valeur déterminée

Qu'est qu'un cycle ?

L'existence d'un cycle indique que les valeurs successives d'une suite se répètent.

Que signifie exactement ordre d'un cycle ?

l'ordre d'un cycle est déterminé par le nombre d'intérations nécessaire pour que l'on retrouve une valeur identique.

Par exemple si on a la suite de nombres suivants :

1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 3,...

On a une suite qui n'est pas convergente (elle oscille) mais la suite des $\text{[math]}$ elle est convergente, c'est un cycle d'ordre 3 ou de longueur 3.

Remarquez mon plus gros soucis est que je ne comprends pas très bien ce qui est mis en ordonnée sur le schéma...

Dans le schéma ce qui est représenté, ce sont les différentes valeurs que prend la suite pour les différentes valeurs du paramètre p. Pour un cycle d'ordre 3 on aurait ainsi 3 valeurs différentes pour une même abscisse. Donc en abcisse p, et en ordonnées toutes les valeurs que prends successivement la suite pour cette valeur du paramètre p. (Dans la courbe présentée, on a supprimé les transitoires et on n'a représenté les valeurs successives de $\text{[math]}$ uniquement pour n grand.

**doryphore** · 07/04/2005, 21h09

Je pense que ce qui est mis en ordonnée est les valeurs d'adhérence de la suite...

Pour p<3, avant les premiers pointillés, la suite converge... c'est à dire qu'elle se rapproche de plus en plus d'une valeur precise et unique quand n tend vers l'infini.

En revanche, pour p >3, cette suite n'arrive pas à se décider et se ballade indéfiniment autour de 2 "limites" différentes: on parle plutôt de valeurs d'adhérance ou point d'accumulation, je ne sais plus trop...
C'est à ce stade, qu'on dit que la suite suit un cycle d'ordre 2...

invitebf1b2f4b · 07/04/2005, 21h31

Je viens de m'avaler toute les discutions sur le chaos déjà présentes sur ce forum. C'est passionnant ! J'ai pas vu le temps passer lol. Seule chose que je regrette est que la question purement mathématique (avec équation et calculs je veux dire) n'est jamais abordée.

Je vais continuer ma recherche avec les mots clés "la theorie des systemes dynamiques" puisque d'après ce que j'ai compris la théorie du chaos n'est en fait que la tentative d'explication et de prévisions de système infiniment complexe tel que la météo...

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invitebf1b2f4b · 07/04/2005, 21h34

Ca me fait penser à une chose d'ailleurs tout ce que j'ai lu : on parlait souvent de la météo. Si la météo parait à ce point insurmontable à prévoir même dans les siècle à venir, ne peut on pas esperer que la technologie aura d'ici là tellement évoluée que nous gererons le climat nous même ? Et par là nous n'aurons finalement jamais à comprendre comment cela fonctionnait naturellement... Cela dit il y a bcp d'autres phénomènes chaotique qu'on ne pourra pas contourner ainsi

Puis il y aura tjs dans la foule un nouvel Einstein qui résoudra le problème tôt ou tard ! Ce n'est qu'une question de temps rien ne résiste à l'homme

**Romain-des-Bois** · 08/04/2005, 17h29

Un autre point d'application des théories du chaos est les populations animales. Par exemple, dans un milieu donné, avec deux populations différentes (prédateurs+proies), quelle quantité de chacune des populations aurons-nous dans un an, deux ans, etc ...

Je te conseille le SVJ hors série - spécial équations du second degré - réédité il y a 2 ans, qui laisse une grande place pour aborder la théorie du chaos.

invitebf1b2f4b · 08/04/2005, 17h32

Bon eh bien voila après une après midi complète sur le sujet je m'en sors un peu mieux

J'ai fini par comprendre ce que signifiait ce schéma.

Pour le moment je calle sur les deux nombres de Feirenbaum et sur l'eposant de Lyapunov...
Peut être pourriez vous m'éclaircir sur le sujet ? J'ai commandé un ouvrage sur le chaos je l'aurai fin de la semaine prochaine j'espère qu'il me sera utile

**zoup1** · 08/04/2005, 23h27

Envoyé par Xerthro

Bon eh bien voila après une après midi complète sur le sujet je m'en sors un peu mieux

J'ai fini par comprendre ce que signifiait ce schéma.

Pour le moment je calle sur les deux nombres de Feirenbaum et sur l'eposant de Lyapunov...
Peut être pourriez vous m'éclaircir sur le sujet ? J'ai commandé un ouvrage sur le chaos je l'aurai fin de la semaine prochaine j'espère qu'il me sera utile

En ce qui concerne les 2 nombres de Feigenbaum, je ne sais pas très bien... Je pense qu'il s'agit de la façon dont on atteint le chaos lorsque l'on augmente paramètre de contrôle p.
Si on note $\text{[math]}$ ... les différentes valeurs de p pour lesquelles on passe d'un cycle d'ordre $\text{[math]}$ à un cycle d'ordre $\text{[math]}$ , alors les suite constitué des $\text{[math]}$ converge vers une valeur bien précise $\text{[math]}$ (dont je ne me rappelle plus la valeur). Je pense que cette première valeur constitue le premier nombre de Feigenbaum. Pour une valeur de p au delà de ce premier nombre de Feigenbaum, il n'y a plus de cycle et le système est chaotique.
Mais par ailleurs, on peut construire une autre suite à partir des $\text{[math]}$ pour regarder la façon dont la suite des $\text{[math]}$ converge. Je ne me rappelle plus très bien la façon que l'on a de construire cette nouvelle suite, mais elle converge également vers le deuxième nombre de Feigenbaum. Ce qu'il y a d'interressant avec ce deuxième nombre de Feignebaum, c'est qu'il est très largement indépendant du système de départ que l'on considéère et qu'il sera le même pour tout (ou presque tous) les systèmes présentant une transition vers le chaos par doublement de période. Ce deuxième nombre est dit universel.
IL s'applique par exemple à des système physiques présentant ce genre de comportement.

Voilà un lien http://josephv.test.free.fr/fractal/...EIGENBAUM.html que je n'ai fais que survoler car il est tard et je vais aller me coucher, mais qui me semble t-il reprende une partie de ce que je viens de dire...

Pour l'exposant de Lyapounov, on en reparle demain, mais ce n'est pas très simple non plus...

**Gwyddon** · 09/04/2005, 19h58

Envoyé par doryphore

En revanche, pour p >3, cette suite n'arrive pas à se décider et se ballade indéfiniment autour de 2 "limites" différentes: on parle plutôt de valeurs d'adhérance ou point d'accumulation, je ne sais plus trop...
C'est à ce stade, qu'on dit que la suite suit un cycle d'ordre 2...

on dit point d'adhérence

**zoup1** · 09/04/2005, 20h21

Salut, je reprends la suite sur l'exposant de Lyapounov...
L'une des caractéristiques majeure d'un système chaotique, c'est sa sensibilité aux conditions initiales. C'est à dire que si on considère deux systèmes identiques pour lesquels on fixe des conditions initiales très voisine. Pour un système qui présente une sensibilité aux conditions initiales, l'écart entre les trajectoires suivies par les 2 systèmes s'écartent rapidement, c'est à dire que la distance, d, entre les 2 trajectoires croit exponentiellement : d = exp(L.t) (Ici j'ai pris un système qui dépend du temps, mais on peut remplacer le t par l'indice d'une suite dans le cas que tu as présenté dans le premier message.)
L'exposant de Lyapounov est une mesure de cette divergence des trajectoires.
Il y a une (plusieurs en fait je crois) façon différentes de définir rigoureusement l'exposant de Lyapounov, mais en gros l'exposant de Lyapounov est L.
Pour un système chaotique, cet exposant est positif. Pour un système régulier, cet exposant est négatif.

invitebf1b2f4b · 09/04/2005, 21h23

Lyapounov lui même, un membre de Futura lol, vient de m'envoyer un lien que je vais de ce pas étudier.

J'aurai voulu vous faire part d'une constatation que j'ai faite : il est vrai que si x[0] = 0.2 par exemple, on aura des résultat très différent que si x[0] = 0.20001
Néanmoins à l'aide du script suivant :
<html><head></head><body bgcolor="ffffff">
<script language="JavaScript">
v=2;
x=0.2000;
for (k=0; k<2000; k++) {
document.write("<font face=\"Arial\" color=\"#000000\" size=\"2\"><b>x["+k+"]="+x+"</b></font><br>");
x=v*x*(1-x);
}
</script></body></html>

Ou v représente p et x représente x[0]
A l'aide de ce script donc j'ai pu constater que les résultat étaient très différent au début mais au final sont les même !

Exemple : v=2 x[0]=0.2 et x[1352]=0.49999999999999994
Exemple : v=2 x[0]=0.200001 et x[1352]=0.49999999999999994 !
Exemple : v=2 x[0]=0.45 et x[1352]=0.49999999999999994 !

En fait le résultat après un certain nombre d'itération ne dépend que de p et pas dutout de x[0] !

Ce que je ne saisis pas dès lors c'est pourquoi l'on dit qu'une petite erreur initiale fait tout changer ! Les exemples montrés ci-dessus poruve que ca n'affecte en rien le résultar final...

**Sephi** · 09/04/2005, 21h37

Les résultats là sont probablement faussés, car effectués sur un ordinateur. Or un ordinateur ne dispose pas d'une précision infinie, de plus il est limité en mémoire (l'espace alloué à une variable n'est pas infini, et la variable en question a des valeurs limites qu'elle ne peut pas dépasser).

Tous ces facteurs font que certaines itérations répétées un grand nombre de fois débouchent rapidement sur une des valeurs limites, et alors le résultat stagne et arrête d'évoluer.

Tu parles de l'équation logistique $\text{[math]}$ . Cette équation est bel et bien chaotique, théoriquement tu aurais obtenu des résultats de plus en plus différents au fur et à mesure que tu avances dans l'itération.

**Sephi** · 09/04/2005, 21h45

D'ailleurs, quand tu observes les résultats expérimentaux que tu as là, tu remarques la chose suivante.

Supposons que $\text{[math]}$ (une valeur approchée du résultat que tu as). Si on calcule $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ , on a :

$\text{[math]}$

Et là le résultat restera le même si on continue l'itération. À mon avis, tu as atteint théoriquement la valeur $\text{[math]}$ à cause des limitations physiques de ton ordi, mais sous la forme 0.49999... (une infinité de 9). Et ton ordi n'étant pas capable de stocker une infinité de décimales, il s'est arrêté à 0.4999...94.

Enfin je dis ça je dis rien, car le paragraphe que je viens d'écrire me semble être une belle fabulation >_< (je ne sais pas trop comment marchent les ordis dans le fond).

**matthias** · 09/04/2005, 22h06

On peut toujours calculer avec plus de précision sur un ordi, encore faut-il avoir prévu de le faire, être près à y sacrifier de la mémoire et du temps de calcul.
En tout cas, il est toujours bon d'apprendre et de comprendre comment sont implémentés les nombres sur un ordinateur, afin d'en prévoir les limites pour un calcul de grande précision. Pas tojours facile à mettre en oeuvre, car pour des problèmes de maths, cela peut signifier de déterminer de manière théorique la précision attendue sur chaque calcul intermédiaire. La programmation peut devenir du grand art ...

invitebf1b2f4b · 09/04/2005, 23h36

Allez les gars c'est la foire

Bon plus serieusement ces résultats expérimentaux sont donc faux ?
J'ai écrit dans mon rapport sur la chaos : "la valeur de convergence ne dépend pas de x[0] mais bien de p (px(1-x)) et uniquement de p"
Je dois barrer ceci alors ?
Ce qui me dérange c'est que du coup je ne comprends le schéma de bifurcation -_- Bon et si j'allais me coucher ?

invitebf65f07b · 09/04/2005, 23h39

Posté par Xerthro :
Ce que je ne saisis pas dès lors c'est pourquoi l'on dit qu'une petite erreur initiale fait tout changer ! Les exemples montrés ci-dessus poruve que ca n'affecte en rien le résultar final...

Posté par Sephi :
Les résultats là sont probablement faussés,

bonsoir,
je suis désolé de te contredire Sephi, mais le résultat est tout ce qu'il y a de plus normal.
Xerthro, je crois que tu n'as pas compris ce que mettait en évidence l'application logistique. le comportement à long terme ne dépend en effet que du paramètre de contrôle : entre 0 et 3 -> une seule valeur d'adhérence, entre 3 et 3.449 -> 2 valeurs d'adhérence, etc ... ce doublement de période s'accélère de façon géométrique comme l'indique le nombre de Faigenbaum. il y a donc une limite (entre 3.6 et 3.7) pour la valeur du paramètre de contrôle dans ces doublement de période (la somme d'une suite géométrique est finie...).
que ce passe-t-il quand on s'approche de cette valeur butoir ? à mesure que le paramètre de controle augmente, la période du cycle limite croît jusqu'à l'infini.
que ce passe-t-il quand on dépasse cette valeur ? on entre précisémment dans un régime chaotique : aussi longtemps que l'on itère la suite, aucun cycle n'apparaît et il apparaît alors la sensibilité aux conditions initiales.

pour répondre à ta question : donne à ton paramètre de controle (v) une valeur de 3.8 au lieu de 2 et tu pourras voir des divergences significatives se produire.

invitebf1b2f4b · 10/04/2005, 00h00

En te lisant je me rends compte que je ne saisi pas très bien la différence entre période et cycle....

**Sephi** · 10/04/2005, 00h04

Le schéma de bifurcation, c'est le diagramme de Feigenbaum, c'est ça ? (je débarque et j'ai pas lu ce qui précède)

C'est un schéma associé à un système dynamique, il exprime, en fonction des paramètres, le nombre de points fixes du système. Si je me souviens bien, ces points fixes sont même des attracteurs. En tout cas, ces points fixes servent à déterminer le type de comportement du système.

Tu as 17 ans, donc tu es peut-être encore en 1ère, alors j'ajoute un exemple : dans l'équation logistique $\text{[math]}$ , il n'y a qu'un paramètre et c'est $\text{[math]}$ . Quand $\text{[math]}$ varie, le comportement du système varie également. Par exemple, pour le diagram de Feigenbaum pour l'équation logistique :

montre que pour $\text{[math]}$ , il n'y a qu'un seul point fixe, ce qui signifie que plus on réitère l'équation, plus le résultat va s'approcher de la valeur du point fixe. Pour $\text{[math]}$ , il y a deux points fixes, càd que le résultat va s'approcher soit de l'un, soit de l'autre point fixe lorsqu'on réitère l'équation.

Lorsque $\text{[math]}$ , là c'est la catastrophe : l'ensemble des points fixes remplissent tout l'intervalle $\text{[math]}$ , ce qui signifie qu'en réitérant l'équation indéfiniment, on peut obtenir n'importe quelle valeur de l'intervale $\text{[math]}$ ... En d'autre terme, la valeur obtenue peut être n'importe quelle valeur, elle ne suit aucune loi en particulier, elle est donc "imprévisible". C'est ce qu'on appelle le chaos. Ainsi, on dira que l'équation logisitique a un comportement chaotique lorsque le paramètre vaut 4.

Tu vois aussi que lorsque $\text{[math]}$ , on se trouve à une situation limite entre un comportement à 1 seul point fixe, et un comportement à 2 points fixes. Donc, lorsque le paramètre passe le cap de la valeur 3, le système change brusquement de comportement. Ce changement brutal de comportement porte un nom : c'est une bifurcation.

Et enfin, tu remarques sur le diagramme qu'en allant de gauche à droite, le nombre de points fixes double de plus en plus vite, jusqu'à provoquer une explosion de points fixes vers $\text{[math]}$ et laisser place à un comportement chaotique par après ... ce phénomène est appelé (en anglais) period doubling cascade, càd "cascade de dédoublement de périodes" ...

**Sephi** · 10/04/2005, 00h06

robert et ses amis > Tu as raison, il avait pris la valeur 2 pour son paramètre, et il n'y a qu'un seul point fixe : ) C'est juste que j'avais oublié les valeurs du paramètres qui rendent la chose chaotique, et je pensais qu'il avait choisi un paramètre adéquat pour ça ...

invitebf1b2f4b · 10/04/2005, 00h25

Donc si j'ai bien compris quand p appartient ]1,3[ peut importe la valeur de départ de x[0], on aura de toute façon un x[n] identique...
Par contre dès que p prend la valeur 4 par exemple, alors là x[n] va fortement dépendre de x[0] ?

Bon que j'ia raison ou tort/// Je vais dormir ! Bonne nuit à tous !

**Sephi** · 10/04/2005, 00h31

Ouais c'est juste.

Pour p dans ]1,3[, la suite des $\text{[math]}$ converge vers la valeur du point fixe correspondant, tandis que pour p=4, là y a aucune convergence, c'est la pagaille.

invitebf1b2f4b · 10/04/2005, 09h06

Bon. Compris. Juste une dernière question alors : quand p = 3,9 par exemple x[0] est donc très important.

Quelle valeur de x[0] ont ils pris pour faire le dessin ci-dessus ?

**lyapounov** · 10/04/2005, 09h42

Envoyé par Xerthro

Quelle valeur de x[0] ont ils pris pour faire le dessin ci-dessus ?

classiquement, on programme avec une valeur de départ x₀ proche de 0.5 (0.51 - 0.54) ce qui évite de voir la valeur resultante x_n+1 dépasser trop vite la capacite de l'ordinateur.
En soit cette valeur n'a que peu d'interet puisqu'on trace x_n+1 = f(p)

invitebf1b2f4b · 10/04/2005, 20h17

Ok merci

Je vous tiens au courant de mon avancement et de mes difficultés. Merci à tous !

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