limites, continuité (partie entière)

[g_h]

Rebonjour,

Il y a quelque chose qui me turlupine depuis quelque temps, je m'explique
vous connaissez sans doute la démonstration que 0,999999.... = 1, on peut assimiler 0.999999... à une limite, par exemple lim _{(x -> 2^-)} x
voilà qui est dit, maintenant, je note E(x) la fonction partie entière de x

Je fais tendre x infiniment près de 2 par valeurs inférieures, soit 1.9999999..... = 2
J'en déduis une limite de 2 pour E(x) quand x tend vers 2, même par valeur inférieures...

Dois-je conclure que la limite à gauche de 2 est... 2 ? Celà est un peu contradictoire non ? Dans mon cours j'ai noté "x -> E(x) n'a pas de limite en 2"

Me trompe-je dans la notion de limite ?
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[martini_bird]

Salut,

tu confonds la notion de continuité et de limite: la fonction "partie entière" n'est pas continue aux abscisses entières, ce qui n'empêche pas que:

et



Cordialement.

[Coincoin]

Salut,
Tu peux développer le passage :

J'en déduis une limite de 2 pour E(x) quand x tend vers 2, même par valeur inférieures...

E n'étant pas continue, tu n'as pas le droit de dire que lim(E(x))=E(lim(x)) !

[Gwyddon]

il n'y a pas de contradiction dans ce que tu dis, mais tu oublies quelques petits détails

D'abord, quand une quantité y(x) admet une limite l quand x tend vers x_0, elle admet aussi une limite à gauche et une limite à droite qui vaut aussi l.

Ensuite, on peut dire que y(x) admet l pour limite si (et si bien sûr les limites en question existent !)

Ainsi, la limite à droite de E(x) en 2 existe et vaut 2, par contre la limite à gauche de E(x) existe aussi mais vaut 1, c'est pour ça que dans ton cours il y a écrit "E(x) n'admet pas de limite en 2", car dans IR, on a 2 différent de 1.

Soit dit en passant, ici :

ge fais tendre x infiniment près de 2 par valeurs inférieures, soit 1.9999999..... = 2
J'en déduis une limite de 2 pour E(x) quand x tend vers 2, même par valeur inférieures...

tu ne démontres rien, car tu utilise implicitement la continuité de E(x) en 2 , continuité qu'il n'y a pas

@+

julien

EDIT : triple croisement avec coincoin et martini-bird, je me suis fait grillé

[A voir en vidéo sur Futura]

[g_h]

E n'étant pas continue, tu n'as pas le droit de dire que lim(E(x))=E(lim(x)) !

OK, c'est ceci qu'il me manquait,
Merci bien à tous les trois !