suite

[invite2e1d4529]

Bonsoir tout le monde,
j'ai un problème avec une suite.
On se donne n nombres complexes z1, ... ,zn tous de module 1 et je sais que la suite k->z1^k+z2^k+...+zn^k converge, on me demande la valeur de la limite.
Je pense qu'elle vaut n mais j'arrive pas le prouver ...
Si vous avez des idées je suis preneur.
Merci à vous !!!
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[ericcc]

Comment sais tu qu'elle converge ?

[invite2e1d4529]

Bonjour, en fait je sais qu'elle converge parce-que c'est l'énoncé qui le dit ... La question étant "juste" d'avoir la valeur de la limite.

[ericcc]

Voici une idée, je ne sais si elle est exploitable, je pose zj= e^it_j:
Prenons le cas n=2, alors Uk=e^ikt₁+e^ikt₂; en mettant en facteur la demi somme :
=e^{ik(t₁+t₂)/2}*2ch[k(t₁-t₂)/2]

Donc |Uk|=2ch[k(t₁-t₂)/2]
Or on veut que Uk converge quand k tend vers +inf, la seule solution est que t1=t2
Alors Uk=2e[EXP]ikt₁, qui ne converge que si t=0, et alors la valeur constante est 2

Bizarre ?

[A voir en vidéo sur Futura]